Mutlak değer içeren eşitsizlikleri çözerken, mutlak değerin tanımını doğru bir şekilde uygulamak çok önemlidir. Adım adım ilerleyerek bu soruyu çözelim:
- 1. Adım: Mutlak Değer Eşitsizliğini Anlamak
- $|A| > B$ şeklindeki bir mutlak değer eşitsizliği, $A$'nın $B$'den büyük veya $A$'nın $-B$'den küçük olduğu anlamına gelir. Yani, $A > B$ veya $A < -B$ olmalıdır.
- Bizim eşitsizliğimiz $ |2x-1| > 7 $ olduğu için, bu kuralı uygulayarak iki ayrı eşitsizlik elde ederiz: $ 2x-1 > 7 $ veya $ 2x-1 < -7 $.
- 2. Adım: Birinci Eşitsizliği Çözmek
- İlk eşitsizliğimiz $ 2x-1 > 7 $. $x$'i yalnız bırakmak için adımları takip edelim: Eşitsizliğin her iki tarafına $1$ ekleyelim: $ 2x-1+1 > 7+1 $, bu durumda $ 2x > 8 $ olur. Şimdi eşitsizliğin her iki tarafını $2$'ye bölelim: $ \frac{2x}{2} > \frac{8}{2} $. Buradan $ x > 4 $ sonucunu elde ederiz.
- 3. Adım: İkinci Eşitsizliği Çözmek
- İkinci eşitsizliğimiz $ 2x-1 < -7 $. Yine $x$'i yalnız bırakalım: Eşitsizliğin her iki tarafına $1$ ekleyelim: $ 2x-1+1 < -7+1 $, bu durumda $ 2x < -6 $ olur. Şimdi eşitsizliğin her iki tarafını $2$'ye bölelim: $ \frac{2x}{2} < \frac{-6}{2} $. Buradan $ x < -3 $ sonucunu elde ederiz.
- 4. Adım: Çözüm Kümelerini Birleştirmek
- Eşitsizliğimizi sağlayan $x$ değerleri $ x > 4 $ veya $ x < -3 $ aralığındadır. Yani, $x$ sayısı $4$'ten büyük olmalı ya da $-3$'ten küçük olmalıdır.
- Bu çözüm kümesini sayı doğrusunda düşündüğümüzde, $ (-\infty, -3) \cup (4, \infty) $ şeklinde ifade edebiliriz.
- 5. Adım: Pozitif Tam Sayıları Belirlemek
- Soru bizden eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıları bulmamızı istiyor. Pozitif tam sayılar $ \{1, 2, 3, 4, 5, 6, ...\} $ kümesidir.
- Çözüm kümemizdeki $ x < -3 $ aralığında hiçbir pozitif tam sayı bulunmaz (çünkü bu aralıktaki sayılar $-4, -5, ...$ gibi negatif sayılardır).
- Çözüm kümemizdeki $ x > 4 $ aralığında ise $ 5, 6, 7, ... $ gibi pozitif tam sayılar bulunur.
- 6. Adım: En Küçük İki Pozitif Tam Sayıyı Bulmak
- Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayılar $ 5, 6, 7, ... $ olduğuna göre, bu sayılar arasındaki en küçük iki pozitif tam sayı $ 5 $ ve $ 6 $'dır.
- 7. Adım: En Küçük İki Pozitif Tam Sayının Toplamını Hesaplamak
- Bulduğumuz en küçük iki pozitif tam sayı olan $ 5 $ ve $ 6 $'yı toplayalım: $ 5 + 6 = 11 $.
Cevap C seçeneğidir.
