Bir iş yerinde çalışanların maaşları 4000 TL ile 8000 TL arasındadır. Maaşlar \( |x-6000| \leq 2000 \) eşitsizliği ile ifade edildiğine göre, bu iş yerinde maaşı 5500 TL'den fazla olan çalışanların maaşları hangi eşitsizlikle ifade edilir?
A) \( |x-6000| < 500 \)
B) \( |x-6000| > 500 \)
C) \( |x-6000| \leq 500 \)
D) \( |x-6000| \geq 500 \)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir iş yerindeki maaş aralıklarını ve belirli bir koşulu sağlayan maaşları eşitsizlikler yardımıyla ifade etmemiz isteniyor. Adım adım ilerleyerek soruyu çözelim.
-
1. Adım: Genel Maaş Aralığını Anlayalım
Soruda, çalışanların maaşlarının 4000 TL ile 8000 TL arasında olduğu ve bu durumun $ |x-6000| \leq 2000 $ eşitsizliği ile ifade edildiği belirtiliyor. Öncelikle bu eşitsizliği açarak maaş aralığını kontrol edelim:
- $ |x-6000| \leq 2000 $ eşitsizliği, $ -2000 \leq x-6000 \leq 2000 $ şeklinde yazılabilir.
- Eşitsizliğin her tarafına 6000 ekleyelim: $ -2000 + 6000 \leq x \leq 2000 + 6000 $
- Bu durumda, $ 4000 \leq x \leq 8000 $ elde ederiz. Bu, soruda verilen maaş aralığı ile tamamen uyumludur. Yani, $x$ bu iş yerindeki bir çalışanın maaşını temsil etmektedir.
-
2. Adım: Yeni Koşulu Belirleyelim
Soru bizden "maaşı 5500 TL'den fazla olan çalışanların maaşları"nı ifade eden eşitsizliği bulmamızı istiyor. Bu koşul matematiksel olarak $ x > 5500 $ şeklinde ifade edilir.
-
3. Adım: Mevcut Maaş Aralığı ile Yeni Koşulu Birleştirelim
Çalışanların maaşları zaten $ 4000 \leq x \leq 8000 $ aralığındadır. Biz bu aralıktaki maaşlardan 5500 TL'den fazla olanları arıyoruz. Bu iki koşulu birleştirdiğimizde, aradığımız maaş aralığı $ 5500 < x \leq 8000 $ olur.
-
4. Adım: Seçenekleri İnceleyelim ve Doğru Cevabı Bulalım
Şimdi verilen seçenekleri tek tek inceleyerek, hangi seçeneğin $ x > 5500 $ koşulunu (veya bu koşulun bir alt kümesini) doğru bir şekilde ifade ettiğini bulalım. Unutmayın, seçenekler $ |x-6000| $ şeklinde verilmiş.
-
A) $ |x-6000| < 500 $
- Bu eşitsizliği açarsak: $ -500 < x-6000 < 500 $
- Her tarafa 6000 eklersek: $ 6000 - 500 < x < 6000 + 500 $
- Yani: $ 5500 < x < 6500 $.
- Bu aralıktaki tüm maaşlar 5500 TL'den büyüktür. Bu seçenek, aradığımız koşulu sağlayan bir maaş aralığını ifade eder.
-
B) $ |x-6000| > 500 $
- Bu eşitsizliği açarsak: $ x-6000 > 500 $ veya $ x-6000 < -500 $
- Yani: $ x > 6500 $ veya $ x < 5500 $.
- Bu seçenek, 5500 TL'den küçük maaşları da içerdiği için "maaşı 5500 TL'den fazla" koşulunu sağlamaz.
-
C) $ |x-6000| \leq 500 $
- Bu eşitsizliği açarsak: $ -500 \leq x-6000 \leq 500 $
- Her tarafa 6000 eklersek: $ 6000 - 500 \leq x \leq 6000 + 500 $
- Yani: $ 5500 \leq x \leq 6500 $.
- Bu seçenek, 5500 TL'ye eşit maaşları da içerdiği için (soru "5500 TL'den fazla" yani $ x > 5500 $ diyor) doğru değildir.
-
D) $ |x-6000| \geq 500 $
- Bu eşitsizliği açarsak: $ x-6000 \geq 500 $ veya $ x-6000 \leq -500 $
- Yani: $ x \geq 6500 $ veya $ x \leq 5500 $.
- Bu seçenek, 5500 TL'den küçük veya eşit maaşları da içerdiği için doğru değildir.
Seçenekleri incelediğimizde, sadece A seçeneği ($ 5500 < x < 6500 $) maaşı 5500 TL'den kesinlikle fazla olan çalışanların maaşlarını ifade eden bir aralık sunar. Diğer seçenekler ya 5500 TL'ye eşit veya daha küçük maaşları da içerir ya da 5500 TL'den büyük olmayan maaşları da kapsar.
Cevap A seçeneğidir.
