Dik üçgenlerde hipotenüse ait yükseklik ve Öklid bağıntıları ile ilgili güzel bir problemle karşı karşıyayız. Adım adım bu problemi çözelim:
- Problemi Anlayalım:
- Bir dik üçgenimiz var.
- Hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu ($h$) $10$ cm olarak verilmiş.
- Hipotenüsün uzunluğu ($c$) $29$ cm olarak verilmiş.
- Bizden istenen, bu yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçaların uzunlukları farkı. Bu parçalara $p$ ve $k$ diyelim. Yani $|p - k|$ değerini bulmamız gerekiyor.
- Öklid Bağıntılarını Hatırlayalım:
- Dik üçgenlerde hipotenüse indirilen yükseklik, hipotenüsü iki parçaya ayırır. Bu parçaların uzunlukları $p$ ve $k$ olsun.
- Öklid'in yükseklik bağıntısına göre, yüksekliğin karesi, ayırdığı parçaların çarpımına eşittir: $h^2 = p \cdot k$.
- Ayrıca, hipotenüsün tamamı bu iki parçanın toplamıdır: $c = p + k$.
- Verilen Bilgileri Formüllere Yerleştirelim:
- Yüksekliğin uzunluğu $h = 10$ cm olduğu için, $h^2 = 10^2 = 100$. Buradan $p \cdot k = 100$ sonucunu elde ederiz.
- Hipotenüsün uzunluğu $c = 29$ cm olduğu için, $p + k = 29$ sonucunu elde ederiz.
- Parçaların Uzunlukları Farkını Hesaplayalım:
- Şimdi elimizde $p + k = 29$ ve $p \cdot k = 100$ denklemleri var. Bizden $|p - k|$ değeri isteniyor.
- Cebirsel bir özdeşlik olan $(p - k)^2 = (p + k)^2 - 4pk$ formülünü kullanabiliriz.
- Verilen değerleri bu formülde yerine koyalım:
- $(p - k)^2 = (29)^2 - 4(100)$
- $(p - k)^2 = 841 - 400$
- $(p - k)^2 = 441$
- Şimdi her iki tarafın karekökünü alarak $|p - k|$ değerini bulalım:
- $|p - k| = \sqrt{441}$
- $|p - k| = 21$ cm.
Buna göre, yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçaların uzunlukları farkı $21$ cm'dir.
Cevap A seçeneğidir.
