Açıortay Kuralı Nedir? Test 2

ABC üçgeninde [AD] açıortaydır. |AB| = 2x, |AC| = 3x ve |BC| = 20 cm olduğuna göre |BD| kaç cm'dir?

A) 6
B) 8
C) 10
D) 12

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir üçgende açıortay teoremini kullanarak kenar uzunluklarını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Açıortay Teoremini Hatırlayalım: Bir üçgende bir açının açıortayı, karşı kenarı diğer iki kenarın uzunlukları oranında böler. Yani, ABC üçgeninde [AD] açıortay ise, $|AB|$'nin $|AC|$'ye oranı, $|BD|$'nin $|DC|$'ye oranına eşittir. Bunu matematiksel olarak şöyle ifade ederiz: $rac{|AB|}{|AC|} = rac{|BD|}{|DC|}$.
• 2. Verilen Bilgileri ve İsteneni Belirleyelim:

  Soruda bize şu bilgiler verilmiştir:

  - $|AB| = 2x$

  - $|AC| = 3x$

  - $|BC| = 20$ cm

  Bizden $|BD|$ uzunluğunu bulmamız isteniyor.

• 3. Bilinmeyenleri Tanımlayalım:

  Aradığımız uzunluk $|BD|$ olsun. Buna $y$ diyelim. Yani $|BD| = y$.

  $|BC|$ kenarının tamamı $20$ cm olduğuna göre, $|DC|$ uzunluğu $20 - y$ olacaktır.

• 4. Açıortay Teoremini Uygulayalım: Şimdi bildiğimiz değerleri açıortay teoreminde yerine yazalım:

  $rac{2x}{3x} = rac{y}{20 - y}$

• 5. Denklemi Çözelim:

  Denklemin sol tarafındaki $x$ değerleri sadeleşir: $rac{2}{3} = rac{y}{20 - y}$.

  Şimdi içler dışlar çarpımı yapalım: $2 \cdot (20 - y) = 3 \cdot y$.

  Parantezi açalım: $40 - 2y = 3y$.

  $-2y$ terimini eşitliğin sağ tarafına $+2y$ olarak geçirelim: $40 = 3y + 2y$.

  Denklemi toparlayalım: $40 = 5y$.

  Her iki tarafı $5$'e bölelim: $y = rac{40}{5}$.

  Sonuç olarak $y = 8$ cm buluruz.

• 6. Sonucu Belirleyelim: Biz $|BD|$ uzunluğuna $y$ demiştik. Dolayısıyla $|BD| = 8$ cm'dir.

Cevap B seçeneğidir.