Kütleleri \(m_1\) ve \(m_2\) olan iki cisim arasındaki çekim kuvveti \(F\)'dir. Cisimler arasındaki uzaklık üç katına çıkarılırsa yeni çekim kuvveti kaç \(F\) olur?
A) \(\frac{1}{3}F\)Bu soruyu çözmek için, kütle çekim kuvveti yasasını adım adım inceleyelim.
Isaac Newton'ın Evrensel Kütle Çekim Yasası'na göre, iki cisim arasındaki çekim kuvveti, cisimlerin kütleleriyle doğru orantılı, aralarındaki uzaklığın karesiyle ise ters orantılıdır. Bu yasa şu formülle ifade edilir:
$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
Burada $F$ çekim kuvveti, $G$ evrensel çekim sabiti, $m_1$ ve $m_2$ cisimlerin kütleleri, $r$ ise cisimlerin merkezleri arasındaki uzaklıktır.
Soruda verilen bilgilere göre, başlangıçta kütleleri $m_1$ ve $m_2$ olan iki cisim arasındaki uzaklık $r$ olsun. Bu durumda aralarındaki çekim kuvveti $F$ olarak verilmiştir. Formülü kullanarak bunu yazalım:
$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ (Denklem 1)
Şimdi cisimler arasındaki uzaklık üç katına çıkarılıyor. Yani yeni uzaklık $r' = 3r$ olur. Cisimlerin kütleleri değişmediği için yine $m_1$ ve $m_2$ olarak kalır. Yeni çekim kuvvetine $F'$ diyelim ve formülü bu yeni değerlerle yazalım:
$F' = G \frac{m_1 m_2}{(r')^2}$
Burada $r'$ yerine $3r$ yazalım:
$F' = G \frac{m_1 m_2}{(3r)^2}$
Denklemdeki parantez içindeki ifadeyi açalım:
$(3r)^2 = 3^2 \cdot r^2 = 9r^2$
Bu değeri $F'$ denklemine yerine yazalım:
$F' = G \frac{m_1 m_2}{9r^2}$
Bu ifadeyi biraz düzenleyerek, başlangıçtaki $F$ kuvveti ile ilişkilendirebiliriz:
$F' = \frac{1}{9} \left( G \frac{m_1 m_2}{r^2} \right)$
Denklem 1'e baktığımızda, parantez içindeki ifadenin tam olarak başlangıçtaki $F$ kuvvetine eşit olduğunu görürüz:
$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
Bu durumda, $F'$ için bulduğumuz ifadede parantez içindeki kısmı $F$ ile değiştirebiliriz:
$F' = \frac{1}{9} F$
Yani, cisimler arasındaki uzaklık üç katına çıkarıldığında, çekim kuvveti dokuzda birine düşer.
Bu sonuç, uzaklığın karesiyle ters orantılı olma ilkesini açıkça göstermektedir. Uzaklık 3 katına çıktığında, kuvvet $3^2 = 9$ kat azalır.
Cevap C seçeneğidir.
