Bir sınıfta 12 kız ve 15 erkek öğrenci vardır. Tüm kız-erkek ikili eşleşmelerinin sayısı hangi kartezyen çarpımın eleman sayısına eşittir?
A) K x E (K: kızlar, E: erkekler)
B) K ∪ E
C) K ∩ E
D) E x K (E: erkekler, K: kızlar)
Bir sınıftaki kız ve erkek öğrenciler arasındaki tüm ikili eşleşmelerin sayısını bulmak için kartezyen çarpım kavramını kullanırız. Adım adım inceleyelim:
- Kümeleri Tanımlama:
- Kız öğrencilerin kümesini K ile gösterelim. Bu kümede 12 eleman vardır, yani $|K| = 12$.
- Erkek öğrencilerin kümesini E ile gösterelim. Bu kümede 15 eleman vardır, yani $|E| = 15$.
- "Kız-erkek ikili eşleşmeleri" Ne Anlama Gelir?:
- Bu ifade, her bir eşleşmenin bir kız öğrenci ve bir erkek öğrenciden oluştuğu sıralı ikilileri (çiftleri) ifade eder.
- Örneğin, bir kız öğrenci Ayşe ve bir erkek öğrenci Can ise, bir eşleşme (Ayşe, Can) şeklinde olacaktır. Burada ilk elemanın kız, ikinci elemanın erkek olduğu bir sıra söz konusudur.
- Kartezyen Çarpım Kavramı:
- İki küme A ve B verildiğinde, A x B (A kartezyen çarpım B) kümesi, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden olan tüm sıralı ikililerin kümesidir.
- Matematiksel olarak $A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \text{ ve } b \in B\}$ şeklinde gösterilir.
- Bu kümenin eleman sayısı, A kümesinin eleman sayısı ile B kümesinin eleman sayısının çarpımına eşittir: $|A \times B| = |A| \times |B|$.
- Sorumuzdaki Eşleşmeleri Kartezyen Çarpım ile İlişkilendirme:
- Biz "kız-erkek ikili eşleşmeleri" aradığımız için, her eşleşmenin ilk elemanı bir kız öğrenci (K kümesinden), ikinci elemanı ise bir erkek öğrenci (E kümesinden) olmalıdır.
- Bu tanım, tam olarak K x E kartezyen çarpımının tanımına uymaktadır.
- Bu eşleşmelerin sayısı $|K \times E| = |K| \times |E| = 12 \times 15 = 180$ olacaktır.
- Seçenekleri Değerlendirme:
- A) K x E: Bu, kız öğrencilerden ve erkek öğrencilerden oluşan sıralı ikilileri (kız, erkek) temsil eder. Bu, aradığımız "kız-erkek ikili eşleşmeleri" tanımına doğrudan uyar.
- B) K ∪ E: Bu, sınıftaki tüm öğrencilerin kümesidir (kızlar veya erkekler). Bu bir eşleşme değil, öğrenci sayısı ile ilgilidir.
- C) K ∩ E: Bu, hem kız hem de erkek olan öğrencilerin kümesidir. Böyle bir öğrenci olamayacağı için bu küme boştur. Bu bir eşleşme değil.
- D) E x K: Bu, erkek öğrencilerden ve kız öğrencilerden oluşan sıralı ikilileri (erkek, kız) temsil eder. Soru "kız-erkek ikili eşleşmeleri" dediği için, ilk elemanın kız, ikinci elemanın erkek olması beklenir. Bu seçenek, eşleşmenin sırasını ters çevirir.
Bu nedenle, tüm kız-erkek ikili eşleşmelerinin sayısı K x E kartezyen çarpımının eleman sayısına eşittir.
Cevap A seçeneğidir.
