Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları a ve b'dir. Bu dikdörtgenin alanı 48 birimkare ve çevresi 28 birim olduğuna göre, a ile b'nin geometrik ortalaması kaçtır?
A) 4√3Bu soruda bir dikdörtgenin kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olarak verilmiş. Dikdörtgenin alanı ve çevresi bilgileriyle, $a$ ile $b$'nin geometrik ortalamasını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olsun.
Dikdörtgenin alanı $A = a \times b$ formülüyle bulunur. Soruda alanın $48$ birimkare olduğu verilmiş. Bu durumda ilk denklemimiz:
$a \times b = 48$
Dikdörtgenin çevresi $P = 2(a + b)$ formülüyle bulunur. Soruda çevrenin $28$ birim olduğu verilmiş. Bu durumda ikinci denklemimiz:
$2(a + b) = 28$
İkinci denklemimiz olan $2(a + b) = 28$ ifadesini kullanarak $a$ ve $b$ toplamını bulabiliriz. Denklemin her iki tarafını $2$'ye bölelim:
$\frac{2(a + b)}{2} = \frac{28}{2}$
$a + b = 14$
İki pozitif sayı olan $a$ ve $b$'nin geometrik ortalaması $\sqrt{a \times b}$ formülüyle bulunur. Bizden istenen değer budur.
Geometrik ortalamayı bulmak için $\sqrt{a \times b}$ değerine ihtiyacımız var. İlk adımda alan bilgisini yazarken $a \times b = 48$ olduğunu bulmuştuk.
Bu değeri geometrik ortalama formülünde yerine koyarsak:
Geometrik Ortalama $= \sqrt{48}$
Şimdi $\sqrt{48}$ ifadesini sadeleştirmemiz gerekiyor. Bunun için $48$ sayısını çarpanlarına ayıralım ve tam kare olan çarpanları karekök dışına çıkaralım:
$48 = 16 \times 3$
Bu durumda $\sqrt{48}$ ifadesini $\sqrt{16 \times 3}$ şeklinde yazabiliriz.
Karekökün özelliklerinden faydalanarak bu ifadeyi $\sqrt{16} \times \sqrt{3}$ olarak ayırabiliriz.
$\sqrt{16}$ değeri $4$'e eşittir.
O halde, $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ olur.
Böylece $a$ ile $b$'nin geometrik ortalamasını $4\sqrt{3}$ olarak bulmuş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
