Bir ikizkenar dik üçgenin dik kenarları 6 cm'dir. Bu üçgenin çevresi ile alanının geometrik ortalaması kaç cm'dir?
A) 6√(6+3√2)Bu soruyu çözmek için adım adım ilerleyelim. Bir ikizkenar dik üçgenin özelliklerini kullanarak önce çevresini ve alanını bulacak, ardından bu iki değerin geometrik ortalamasını hesaplayacağız.
Bir dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısıdır. İkizkenar dik üçgenimizin dik kenarları $6$ cm olduğu için:
Alan $(A) = \frac{\text{dik kenar} \times \text{dik kenar}}{2} = \frac{6 \text{ cm} \times 6 \text{ cm}}{2}$
$A = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}^2$
Çevreyi bulmak için üçgenin tüm kenar uzunluklarını toplamamız gerekir. İkizkenar dik üçgenin iki dik kenarı $6$ cm'dir. Üçüncü kenar (hipotenüs) Pisagor teoremi ile bulunur:
Hipotenüs$^2 = (\text{dik kenar}_1)^2 + (\text{dik kenar}_2)^2$
Hipotenüs$^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$
Hipotenüs $= \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \text{ cm}$
Şimdi çevreyi hesaplayabiliriz:
Çevre $(P) = \text{dik kenar}_1 + \text{dik kenar}_2 + \text{hipotenüs}$
$P = 6 \text{ cm} + 6 \text{ cm} + 6\sqrt{2} \text{ cm}$
$P = 12 + 6\sqrt{2} \text{ cm}$
İki sayının (diyelim ki $x$ ve $y$) geometrik ortalaması $\sqrt{x \times y}$ formülüyle bulunur. Bizim durumumuzda $x = A = 18$ ve $y = P = 12 + 6\sqrt{2}$:
Geometrik Ortalama $(GO) = \sqrt{A \times P}$
$GO = \sqrt{18 \times (12 + 6\sqrt{2})}$
Şimdi bu ifadeyi adım adım sadeleştirelim:
$GO = \sqrt{18 \times 6 \times (2 + \sqrt{2})}$ (Parantez içindeki $12 + 6\sqrt{2}$ ifadesini $6$ parantezine aldık.)
$GO = \sqrt{108 \times (2 + \sqrt{2})}$
Kök dışına çıkarabileceğimiz çarpanları bulmak için $108$'i çarpanlarına ayıralım: $108 = 36 \times 3$.
$GO = \sqrt{36 \times 3 \times (2 + \sqrt{2})}$
$GO = \sqrt{36} \times \sqrt{3 \times (2 + \sqrt{2})}$
$GO = 6 \times \sqrt{3 \times 2 + 3 \times \sqrt{2}}$
$GO = 6\sqrt{6 + 3\sqrt{2}}$
Bu sonuç, seçeneklerdeki A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
