10. Sınıf Ebob ve Ekok Özellikleri Test 2

Bir marangoz, elindeki iki farklı uzunluktaki tahta parçasını hiç artmayacak şekilde eşit uzunlukta en büyük parçalara ayırmak istiyor. Bu parçaların her birinin uzunluğu $15$ cm'dir. Eğer tahta parçalarının uzunlukları toplamı $345$ cm ise ve bu iki tahta parçasının uzunlukları birbirine eşit değilse, bu tahta parçalarının santimetre cinsinden EKOK'u kaçtır?

A) 1500
B) 1260
C) 1125
D) 900

Merhaba öğrenciler, bu problemi adım adım çözerek EKOK kavramını daha iyi anlamanıza yardımcı olacağım. Hazırsanız başlayalım!

• Adım 1: Tahta parçalarının uzunluklarını bulalım.

Marangozun elindeki tahta parçalarının her biri 15 cm uzunluğunda olacak şekilde ayrılıyor. Bu, tahta parçalarının uzunluklarının 15'in katı olduğu anlamına gelir. Tahta parçalarının uzunlukları toplamı 345 cm olduğuna göre, bu uzunlukları bulmak için 345'i 15'e bölelim: $345 / 15 = 23$. Bu, toplamda 23 parça elde edildiği anlamına gelir.

• Adım 2: Tahta parçalarının olası uzunluklarını belirleyelim.

İki farklı uzunlukta tahta parçası olduğuna göre, 23'ü iki farklı pozitif tam sayının toplamı şeklinde yazmalıyız. Örneğin, 1 + 22, 2 + 21, 3 + 20 gibi. Ancak, tahta parçalarının uzunlukları birbirine eşit olmadığı belirtilmiş. Bu durumda, olası durumları değerlendirelim. Tahta parçalarının uzunlukları $15x$ ve $15y$ olsun, burada $x + y = 23$ ve $x \neq y$.

Şimdi olası bazı durumları inceleyelim:

• $x = 1, y = 22$ ise, tahta uzunlukları $15 \cdot 1 = 15$ cm ve $15 \cdot 22 = 330$ cm olur.
• $x = 2, y = 21$ ise, tahta uzunlukları $15 \cdot 2 = 30$ cm ve $15 \cdot 21 = 315$ cm olur.
• $x = 3, y = 20$ ise, tahta uzunlukları $15 \cdot 3 = 45$ cm ve $15 \cdot 20 = 300$ cm olur.
• ...

Ancak soruyu çözmek için tüm durumları denememize gerek yok. Sadece EKOK'u bulmamız yeterli.

• Adım 3: Seçenekleri değerlendirelim.

Seçeneklerdeki sayılar, tahta parçalarının uzunluklarının EKOK'u olabilir. Bu durumda, seçeneklerdeki sayıların 15'in katı olan iki sayıya bölünebilmesi gerekir. Ayrıca, bu iki sayının toplamının 345 olması gerekir.

• Adım 4: Doğru seçeneği bulalım.

Şimdi seçenekleri inceleyelim:

• A) 1500: $1500 = 15 \cdot 100 = 15 \cdot (x) = 15 \cdot (23-y)$ ifadesini sağlayan $x$ ve $y$ değerlerini bulmamız gerekiyor. 1500 sayısı 15 ile tam bölünebilir. $1500 = 15 \cdot 100$ olduğundan, 1500'ün çarpanları arasında 15'in katı olan iki sayı bulmalıyız ki bu sayıların toplamı 345 olsun. Örneğin, 120 ve 225 sayıları 15'in katıdır ve toplamları 345'tir. EKOK(120, 225) = 900 değildir.
• B) 1260: Benzer şekilde, 1260 sayısı 15 ile tam bölünebilir. Ancak, 1260'ın çarpanları arasında 15'in katı olan ve toplamları 345 olan iki sayı bulmak zordur.
• C) 1125: 1125 sayısı da 15 ile tam bölünebilir. Ancak, bu sayının çarpanları arasında 15'in katı olan ve toplamları 345 olan iki sayı bulmak zordur.
• D) 900: $900 = 15 \cdot 60$. Şimdi 15'in katı olan iki sayı bulmalıyız ki bu sayıların EKOK'u 900 olsun ve toplamları 345 olsun. Bu sayılar 120 ve 225 olabilir mi? $120 = 15 \cdot 8$ ve $225 = 15 \cdot 15$. EKOK(120, 225) = 900. Ayrıca $120 + 225 = 345$. Bu durumda, tahta parçalarının uzunlukları 120 cm ve 225 cm olabilir.
• Adım 5: Sonuç

Gördüğümüz gibi, 120 ve 225 sayıları 15'in katı ve toplamları 345. Bu sayıların EKOK'u da 900. Bu nedenle, doğru cevap D seçeneğidir.

Cevap D seçeneğidir.