10. Sınıf İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi Test 1

G(3,-1) ve H(-2,4) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) y = -x + 2
B) y = x - 4
C) y = -x - 2
D) y = x + 2

Merhaba sevgili öğrenciler! İki noktadan geçen doğrunun denklemini bulmak, analitik geometrinin temel konularından biridir. Bu soruyu adım adım çözerek konuyu daha iyi anlayalım.

• 1. Adım: Doğrunun Eğimini (m) Bulma

  İki noktası verilen bir doğrunun denklemini bulmak için öncelikle doğrunun eğimini bulmamız gerekir. Eğim, dikey değişimin yatay değişime oranıdır ve $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ formülüyle hesaplanır.

  Verilen noktalarımız G$(3,-1)$ ve H$(-2,4)$. Bu noktaları $(x_1, y_1)$ ve $(x_2, y_2)$ olarak alalım:

  • $x_1 = 3$, $y_1 = -1$
  • $x_2 = -2$, $y_2 = 4$

  Şimdi eğim formülünde yerine koyalım:

  $m = \frac{4 - (-1)}{-2 - 3}$

  $m = \frac{4 + 1}{-5}$

  $m = \frac{5}{-5}$

  $m = -1$

  Demek ki doğrumuzun eğimi $-1$'dir.

• 2. Adım: Doğru Denklemini Bulma (Eğim-Nokta Formülü Kullanarak)

  Eğimi $m$ olan ve $(x_1, y_1)$ noktasından geçen bir doğrunun denklemi $y - y_1 = m(x - x_1)$ formülüyle bulunur. Biz eğimi $m = -1$ olarak bulduk. Noktalardan herhangi birini kullanabiliriz. G$(3,-1)$ noktasını kullanalım:

  • $m = -1$
  • $x_1 = 3$
  • $y_1 = -1$

  Formülde yerine koyalım:

  $y - (-1) = -1(x - 3)$

  $y + 1 = -x + 3$

  Şimdi $y$'yi yalnız bırakmak için $+1$'i karşıya atalım:

  $y = -x + 3 - 1$

  $y = -x + 2$

  İşte doğrumuzun denklemini bulduk!

• 3. Adım: Doğru Denklemini Bulma (Eğim-Kesişim Formülü Kullanarak - Alternatif Yöntem)

  Doğru denklemi genellikle $y = mx + b$ şeklinde yazılır, burada $m$ eğim ve $b$ y-eksenini kestiği noktadır (y-keseni).

  Eğimi $m = -1$ olarak bulmuştuk. Yani denklemimiz $y = -1x + b$ veya $y = -x + b$ şeklindedir.

  Şimdi $b$ değerini bulmak için verilen noktalardan birini (örneğin G$(3,-1)$) bu denklemde yerine koyalım:

  • $x = 3$
  • $y = -1$

  $-1 = -(3) + b$

  $-1 = -3 + b$

  $b$'yi yalnız bırakmak için $-3$'ü karşıya atalım:

  $b = -1 + 3$

  $b = 2$

  Şimdi $m = -1$ ve $b = 2$ değerlerini $y = mx + b$ denkleminde yerine koyalım:

  $y = -1x + 2$

  $y = -x + 2$

  Her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık.

• 4. Adım: Seçeneklerle Karşılaştırma

  Bulduğumuz denklem $y = -x + 2$'dir. Seçeneklere baktığımızda bu denklemin A seçeneği olduğunu görüyoruz.

Cevap A seçeneğidir.