9. Sınıf Fonksiyonun Tanım ve Görüntü Kümesi Nedir? Test 1

f: R → R, f(x) = 2x + 3 fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) R
B) [3, ∞)
C) (0, ∞)
D) [-3, ∞)

Sevgili öğrenciler, bir fonksiyonun görüntü kümesini bulmak, o fonksiyonun alabileceği tüm $y$ değerlerini (yani çıktı değerlerini) belirlemek demektir. Şimdi adım adım bu soruyu çözelim:

• Fonksiyonu ve Tanım Kümesini Anlayalım:

  Bize verilen fonksiyon $f: R \rightarrow R$, $f(x) = 2x + 3$.

  Buradaki $f: R \rightarrow R$ ifadesi, fonksiyonun tanım kümesinin (yani $x$ değerlerinin alınabileceği küme) tüm reel sayılar kümesi ($R$) olduğunu ve değer kümesinin (yani $f(x)$ değerlerinin düşebileceği küme) de tüm reel sayılar kümesi ($R$) olduğunu gösterir. Bizden istenen ise bu fonksiyonun görüntü kümesidir.

• Görüntü Kümesini Bulma Yöntemi (Lineer Fonksiyonlar İçin):

  $f(x) = 2x + 3$ fonksiyonu, genel olarak $f(x) = ax + b$ şeklinde bir lineer (doğrusal) fonksiyondur. Burada $a = 2$ ve $b = 3$'tür.

  Doğrusal fonksiyonların grafikleri bir doğrudur. Eğer bir doğrusal fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar ($R$) ise, bu doğru sonsuzdan sonsuza kadar uzanır. Bu da demektir ki, $y$ ekseni üzerinde alabileceği tüm değerler de tüm reel sayılar kümesi ($R$) olacaktır. Çünkü $x$ değerleri tüm reel sayıları tararken, $2x+3$ ifadesi de tüm reel sayıları tarar.

• Alternatif Yöntem (Ters Fonksiyon Mantığı):

  Görüntü kümesini bulmak için, $y = f(x)$ eşitliğinden $x$'i $y$ cinsinden ifade etmeye çalışabiliriz. Eğer $x$'i $y$ cinsinden ifade ettiğimizde, $y$ yerine hangi reel sayıları yazarsak $x$ de bir reel sayı olur diye bakarsak, görüntü kümesini bulmuş oluruz.

  Öncelikle $y = 2x + 3$ eşitliğini ele alalım.

  Amacımız $x$'i yalnız bırakmak. Bunun için $3$'ü eşitliğin diğer tarafına atarız: $y - 3 = 2x$.

  Şimdi her iki tarafı $2$'ye bölelim: $x = \frac{y - 3}{2}$.

  Şimdi düşünelim: $x$'in bir reel sayı olması için $y$ hangi değerleri alabilir?

  Bir kesirli ifadenin reel sayı olabilmesi için paydasının sıfır olmaması gerekir. Burada payda $2$'dir ve sıfır değildir. Ayrıca, ifade içinde köklü bir terim de bulunmamaktadır. Bu durumda, $y$ yerine hangi reel sayıyı yazarsak yazalım, $\frac{y - 3}{2}$ ifadesi her zaman bir reel sayı olacaktır.

  Bu da demektir ki, $f(x)$ fonksiyonu tüm reel sayı değerlerini alabilir. Yani görüntü kümesi tüm reel sayılar kümesi ($R$)dir.

Bu iki yöntem de bize fonksiyonun görüntü kümesinin $R$ olduğunu göstermektedir.

Cevap A seçeneğidir.