Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, bir fonksiyonun görüntü kümesini nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Görüntü kümesi, bir fonksiyonun tanım kümesindeki her $x$ değeri için alabileceği tüm $f(x)$ değerlerinin oluşturduğu kümedir. Hadi başlayalım!
- 1. Adım: Fonksiyonu ve Tanım Kümesini Anlayalım
- Bize verilen fonksiyon $f(x) = x^2$. Bu, bir parabol denklemidir ve grafiği yukarı doğru açılan bir U şeklindedir.
- Tanım kümesi ise $[-2, 4]$ olarak verilmiş. Bu, $x$ değerlerinin $-2$ ile $4$ arasında ($-2$ ve $4$ dahil) olabileceği anlamına gelir. Yani, $-2 \le x \le 4$.
- 2. Adım: Tanım Kümesinin Uç Noktalarındaki Fonksiyon Değerlerini Hesaplayalım
- Tanım kümesinin en küçük değeri $x = -2$ için $f(x)$ değerini bulalım:
- $f(-2) = (-2)^2 = 4$
- Tanım kümesinin en büyük değeri $x = 4$ için $f(x)$ değerini bulalım:
- $f(4) = (4)^2 = 16$
- 3. Adım: Fonksiyonun Tanım Kümesi İçindeki Minimum Değerini Bulalım
- $f(x) = x^2$ fonksiyonu bir paraboldür ve tepe noktası $x=0$ noktasındadır. Bu noktada fonksiyon en küçük değerini alır.
- Tanım kümemiz $[-2, 4]$ olduğu için, $x=0$ değeri bu aralığın içindedir.
- $x=0$ için $f(x)$ değerini hesaplayalım:
- $f(0) = (0)^2 = 0$
- Bu, fonksiyonun tanım kümesi içindeki alabileceği en küçük değerdir. Çünkü $x^2$ ifadesi her zaman $0$ veya pozitif bir değer alır ve $0$ değerini $x=0$ noktasında alır.
- 4. Adım: Fonksiyonun Tanım Kümesi İçindeki Maksimum Değerini Bulalım
- Fonksiyonun tanım kümesi içindeki maksimum değeri, uç noktalarda bulduğumuz değerlerden en büyüğü olacaktır. Çünkü $x=0$ noktasında minimuma ulaştıktan sonra, parabol her iki yönde de (pozitif ve negatif $x$ eksenlerinde) yukarı doğru artar.
- Uç noktalarda bulduğumuz değerler $f(-2) = 4$ ve $f(4) = 16$ idi.
- Bu iki değerden en büyüğü $16$'dır. Yani, fonksiyonun alabileceği en büyük değer $16$'dır.
- 5. Adım: Görüntü Kümesini Belirleyelim
- Fonksiyonun tanım kümesi içinde alabileceği en küçük değer $0$ ve en büyük değer $16$ olduğuna göre, görüntü kümesi bu iki değer arasındaki tüm sayıları kapsar.
- Bu durumda görüntü kümesi $[0, 16]$ aralığıdır.
Cevap A seçeneğidir.
