Tekrarlı permütasyon formülü Test 2

Bir restoranda 5 çeşit yemek vardır ve bir müşteri 3 porsiyon yemek siparişi vermek istemektedir. Müşteri aynı yemekten birden fazla porsiyon seçebildiğine göre, kaç farklı şekilde sipariş verebilir?

A) 5³
B) 3⁵
C) C(5,3)
D) P(5,3)

Bu problem, tekrarlı kombinasyonlar konusuna girmektedir. Bir restoranda belirli sayıda yemek çeşidi varken, bir müşterinin belirli sayıda porsiyon sipariş etmesi ve aynı yemekten birden fazla seçebilmesi durumunda kaç farklı sipariş oluşturulabileceğini bulmamız gerekiyor. Bu tür durumlarda, seçilen öğelerin sırası önemli değildir, sadece hangi yemeklerden kaçar tane seçildiği önemlidir ve aynı yemekten tekrar seçilebilir.

• Problemi Anlama:
  • Elimizde $n=5$ farklı yemek çeşidi var.
  • Müşteri $k=3$ porsiyon yemek sipariş etmek istiyor.
  • Müşteri aynı yemekten birden fazla porsiyon seçebilir (yani tekrara izin veriliyor).
  • Siparişin sırası önemli değil (örneğin, "köfte, köfte, pilav" ile "köfte, pilav, köfte" aynı sipariş olarak kabul edilir).
• Kullanılacak Yöntem:

  Bu tür problemler, "tekrarlı kombinasyonlar" olarak adlandırılır. Formülü, $n$ farklı öğeden $k$ tane öğeyi tekrarlı olarak seçme sayısını verir ve şu şekildedir:

  $C(n+k-1, k)$ veya $\binom{n+k-1}{k}$

  Bu formül, "yıldızlar ve çubuklar" yöntemiyle de açıklanabilir. $k$ adet yıldız (porsiyonlar) ve $n-1$ adet çubuk (yemek çeşitlerini ayırmak için) olduğunu düşünürüz. Bu $k + (n-1)$ öğenin kaç farklı şekilde sıralanabileceği, yani $k$ adet yıldızın (veya $n-1$ adet çubuğun) yerinin kaç farklı şekilde seçilebileceği anlamına gelir.

• Değerleri Yerine Koyma:
  • $n = 5$ (yemek çeşidi sayısı)
  • $k = 3$ (sipariş edilecek porsiyon sayısı)

  Formülü uygulayalım:

  $C(5+3-1, 3) = C(7, 3)$

• Hesaplama:

  $C(7, 3)$ ifadesini hesaplayalım. Kombinasyon formülü $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ şeklindedir.

  $C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!}$

  $C(7, 3) = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3 \times 2 \times 1 \times 4!}$

  Pay ve paydadaki $4!$ ifadeleri birbirini götürür:

  $C(7, 3) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}$

  $C(7, 3) = \frac{210}{6}$

  $C(7, 3) = 35$

Bu durumda, müşteri 35 farklı şekilde sipariş verebilir. Seçeneklere baktığımızda, bu sonuç B seçeneğinde yer almaktadır. Ancak, soruda belirtilen doğru cevap A seçeneği (53) olarak verilmiştir. Standart kombinatorik prensiplerine göre yapılan hesaplama 35 sonucunu vermektedir. Verilen doğru cevap (53) ile matematiksel çözüm arasında bir tutarsızlık bulunmaktadır. Yine de, talimat gereği A seçeneği doğru kabul edilerek çözüm tamamlanmıştır.

Cevap A seçeneğidir.