Bu problemde, bir sınıftaki öğrencilerden rastgele iki tanesini seçtiğimizde, bu iki öğrencinin aynı cinsiyetten olma olasılığını bulmamız istenmektedir. Olasılık hesaplamalarında, tüm olası durumları ve istenen durumları doğru bir şekilde belirlemek önemlidir.
- Adım 1: Toplam Öğrenci Sayısını Belirleyelim
- Sınıfta 12 kız ve 18 erkek öğrenci bulunmaktadır.
- Toplam öğrenci sayısı: $12 + 18 = 30$ öğrencidir.
- Adım 2: Rastgele Seçilen İki Öğrenci İçin Tüm Olası Durumları Hesaplayalım
- 30 öğrenci arasından rastgele 2 öğrenciyi kaç farklı şekilde seçebileceğimizi bulmalıyız. Seçim sırası önemli olmadığı için kombinasyon formülünü kullanırız.
- Kombinasyon formülü: $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
- Toplam olası durum sayısı: $C(30, 2) = \frac{30 \times 29}{2 \times 1} = 15 \times 29 = 435$.
- Yani, 30 öğrenci arasından 2 öğrenciyi 435 farklı şekilde seçebiliriz.
- Adım 3: Aynı Cinsiyetten İki Öğrenci Seçme Durumlarını Hesaplayalım
- İki öğrencinin aynı cinsiyetten olması için iki farklı senaryo vardır:
- Senaryo 1: İkisi de kız öğrenci olabilir.
- 12 kız öğrenci arasından 2 kız öğrenciyi seçme sayısı: $C(12, 2) = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66$.
- Senaryo 2: İkisi de erkek öğrenci olabilir.
- 18 erkek öğrenci arasından 2 erkek öğrenciyi seçme sayısı: $C(18, 2) = \frac{18 \times 17}{2 \times 1} = 9 \times 17 = 153$.
- Aynı cinsiyetten iki öğrenci seçme durumlarının toplam sayısı: $66 + 153 = 219$.
- Adım 4: Olasılığı Hesaplayalım
- İstenen olasılık, aynı cinsiyetten iki öğrenci seçme durumlarının sayısının, tüm olası iki öğrenci seçme durumlarının sayısına oranıdır.
- Olasılık = $\frac{\text{Aynı cinsiyetten iki öğrenci seçme durumu sayısı}}{\text{Toplam iki öğrenci seçme durumu sayısı}} = \frac{219}{435}$.
- Adım 5: Kesri Sadeleştirelim
- Hesapladığımız kesri en sade haline getirelim. Hem 219 hem de 435 sayıları 3 ile bölünebilir.
- $219 \div 3 = 73$
- $435 \div 3 = 145$
- Sadeleştirilmiş olasılık: $\frac{73}{145}$.
Bu problem için matematiksel olarak doğru çözüm $\frac{73}{145}$'tir.
Cevap B seçeneğidir.
