Fonksiyon grafiği nasıl çizilir Test 2

f(x) = |x-1| + 2 fonksiyonunun grafiği çizildiğinde, bu grafikle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) Grafik V şeklindedir
B) Tepe noktası (1,2)'dir
C) y eksenini (0,3)'te keser
D) x eksenini iki farklı noktada keser

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, $f(x) = |x-1| + 2$ fonksiyonunun grafiği ile ilgili verilen ifadelerden hangisinin yanlış olduğunu bulmamız isteniyor. Bu tür mutlak değer fonksiyonlarının grafiklerini anlamak için temel mutlak değer fonksiyonu $y = |x|$'in grafiğini ve dönüşümlerini hatırlayalım.

Genel olarak, $y = a|x-h| + k$ şeklindeki bir mutlak değer fonksiyonunun grafiği:

• Bir V şeklindedir.
• Tepe noktası $(h, k)$'dir.
• Eğer $a > 0$ ise V yukarı doğru açılır, eğer $a < 0$ ise V aşağı doğru açılır.

Şimdi verilen $f(x) = |x-1| + 2$ fonksiyonunu bu genel formla karşılaştıralım:

• Burada $a=1$ (pozitif), $h=1$ ve $k=2$'dir.

Bu bilgiler ışığında seçenekleri tek tek inceleyelim:

• A) Grafik V şeklindedir

  Mutlak değer fonksiyonlarının grafikleri her zaman V şeklindedir (ya da ters V). Bizim fonksiyonumuzda $a=1$ olduğu için V yukarı doğru açılır. Dolayısıyla bu ifade doğrudur.

• B) Tepe noktası $(1,2)$'dir

  Yukarıda belirttiğimiz gibi, $y = |x-h| + k$ şeklindeki bir mutlak değer fonksiyonunun tepe noktası $(h, k)$'dir. Bizim fonksiyonumuzda $h=1$ ve $k=2$ olduğundan, tepe noktası $(1,2)$'dir. Dolayısıyla bu ifade de doğrudur.

• C) y eksenini $(0,3)$'te keser

  Bir fonksiyonun y eksenini kestiği noktayı bulmak için $x=0$ değerini fonksiyonda yerine yazarız:

  $f(0) = |0-1| + 2 = |-1| + 2 = 1 + 2 = 3$

  Yani, fonksiyon y eksenini $(0,3)$ noktasında keser. Dolayısıyla bu ifade de doğrudur.

• D) x eksenini iki farklı noktada keser

  Bir fonksiyonun x eksenini kestiği noktaları bulmak için $f(x)=0$ denklemini çözmemiz gerekir:

  $|x-1| + 2 = 0$

  $|x-1| = -2$

  Mutlak değerin tanımı gereği, bir sayının mutlak değeri asla negatif olamaz. Yani $|x-1|$ ifadesi her zaman $\ge 0$ olmalıdır. Bu durumda $|x-1| = -2$ denkleminin gerçek sayılarda bir çözümü yoktur. Bu da demektir ki, fonksiyonun grafiği x eksenini hiçbir noktada kesmez.

  Ayrıca, tepe noktasının $(1,2)$ olduğunu ve grafiğin yukarı doğru açılan bir V şeklinde olduğunu biliyoruz. Bu, grafiğin tamamen x ekseninin üzerinde yer aldığı anlamına gelir. Dolayısıyla x eksenini kesmesi mümkün değildir. Bu ifade yanlıştır.

Soruda yanlış olan ifade sorulduğu için, doğru cevap D seçeneğidir.

Cevap D seçeneğidir.