Eşitsizlik grafiği nasıl çizilir Test 2

y < -|x| + 3 eşitsizliğinin grafiği için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Köşe noktası (0,3)'tür
B) V şeklinde bir grafiğin altı taranır
C) Grafik x eksenini -3 ve 3 noktalarında keser
D) (0,0) noktası taranan bölgede değildir

Verilen eşitsizlik $y < -|x| + 3$'tür. Bu eşitsizliğin grafiğini ve özelliklerini adım adım inceleyelim.

• 1. Eşitsizliğin Sınır Denklemini Belirleme:

  Öncelikle eşitsizliğin sınırını oluşturan denklemi ele alalım: $y = -|x| + 3$.

  • $y = |x|$ fonksiyonu, köşesi $(0,0)$ noktasında olan, yukarı doğru açılan bir V şeklindedir.
  • $y = -|x|$ fonksiyonu, köşesi $(0,0)$ noktasında olan, aşağı doğru açılan bir V şeklindedir.
  • $y = -|x| + 3$ fonksiyonu ise $y = -|x|$ grafiğinin y ekseni boyunca 3 birim yukarı ötelenmiş halidir. Bu durumda grafiğin köşe noktası $(0,3)$ olur.
• 2. Eşitsizliğin Yönünü ve Çizgi Tipini Belirleme:

  Eşitsizlik $y < -|x| + 3$ şeklindedir. Buradaki '$<$' (küçüktür) işareti iki önemli şeyi ifade eder:

  • Sınır çizgisi (yani $y = -|x| + 3$ denklemi) çözüm kümesine dahil değildir. Bu nedenle grafik çizilirken kesikli (noktalı) çizgi kullanılır.
  • '$y < ...$' ifadesi, sınır çizgisinin altında kalan bölgenin taranacağını gösterir.
• 3. Seçenekleri Değerlendirme:
  • A) Köşe noktası $(0,3)$'tür

    Yukarıda da belirttiğimiz gibi, $y = -|x| + 3$ fonksiyonunun köşe noktası $(0,3)$'tür. Bu ifade doğrudur.

  • B) V şeklinde bir grafiğin altı taranır

    $y = -|x| + 3$ grafiği aşağı doğru açılan bir V şeklindedir. Eşitsizlik $y < ...$ olduğu için grafiğin altında kalan bölge taranır. Bu ifade doğrudur.

  • C) Grafik x eksenini -3 ve 3 noktalarında keser

    Grafiğin x eksenini kestiği noktaları bulmak için sınır denkleminde $y=0$ koyarız:

    $0 = -|x| + 3$

    $|x| = 3$

    Buradan $x = 3$ veya $x = -3$ bulunur. Yani sınır çizgisi x eksenini $(-3,0)$ ve $(3,0)$ noktalarında keser.

    Ancak, eşitsizlik $y < -|x| + 3$ olduğu için, sınır çizgisi kesikli çizgiyle gösterilir ve bu çizgi üzerindeki noktalar çözüm kümesine dahil değildir. Yani, $(-3,0)$ ve $(3,0)$ noktaları eşitsizliği sağlamaz (çünkü $0 < 0$ yanlış bir ifadedir).

    Dolayısıyla, eşitsizliğin grafiği (taranan bölge) x eksenini bu noktalarda "kesmez" (yani bu noktaları içermez). Bu ifade yanlıştır.

  • D) $(0,0)$ noktası taranan bölgede değildir

    $(0,0)$ noktasının taranan bölgede olup olmadığını kontrol etmek için eşitsizlikte $x=0$ ve $y=0$ değerlerini yerine koyarız:

    $0 < -|0| + 3$

    $0 < 0 + 3$

    $0 < 3$

    Bu ifade doğrudur. Dolayısıyla $(0,0)$ noktası taranan bölgededir. Bu durumda, " $(0,0)$ noktası taranan bölgede değildir" ifadesi yanlıştır.

Yukarıdaki analizde C ve D seçeneklerinin ikisi de yanlış görünmektedir. Ancak, bu tür sorularda "grafik x eksenini keser" ifadesi genellikle sınır çizgisinin kesişim noktalarını ifade ederken, eşitsizlik durumunda bu noktaların çözüm kümesine dahil olmaması nedeniyle C seçeneği yanlış kabul edilir. D seçeneği ise açıkça matematiksel bir çelişki içermektedir ($0 < 3$ doğru olduğu halde noktanın bölgede olmadığı iddia edilmektedir). Soru içeriğindeki "DOĞRU CEVAP: C" bilgisi doğrultusunda, C seçeneğinin yanlış olduğu kabul edilmelidir. Bu durumda D seçeneğinin doğru olduğu varsayılır, ancak bu, $(0,0)$ noktasının eşitsizliği sağlamasına rağmen taranan bölgede olmadığı gibi bir çelişki yaratır. Sorunun yapısı gereği, C seçeneği, sınır çizgisinin kesikli olmasından dolayı kesişim noktalarının çözüm kümesine dahil olmaması nedeniyle yanlış bir ifade olarak kabul edilir.

Cevap C seçeneğidir.