Bir öğrenci y = |x-1| fonksiyonunun grafiğini çizmiş ve y < |x-1| eşitsizliğini göstermek istiyor. Bu eşitsizliğin grafiği için hangisi doğrudur?
A) V şeklindeki grafiğin üstü taranırBu soruda, mutlak değer içeren bir eşitsizliğin grafiğini nasıl çizeceğimizi adım adım öğreneceğiz. Hadi başlayalım!
Öncelikle, bize verilen eşitsizlik $y < |x-1|$ olduğu için, bu eşitsizliğin sınırını belirleyen $y = |x-1|$ fonksiyonunun grafiğini düşünmeliyiz.
$y = |x|$ fonksiyonunun grafiği, orijinde $(0,0)$ köşesi olan bir V şeklindedir.
$y = |x-1|$ fonksiyonunun grafiği ise, $y = |x|$ grafiğinin x ekseni boyunca 1 birim sağa ötelenmiş halidir. Yani, köşesi $(1,0)$ noktasında olan bir V şeklindedir. Bu V şekli, $x=1$ doğrusuna göre simetriktir.
Şimdi eşitsizliğimize bakalım: $y < |x-1|$.
Bu eşitsizlik, $y = |x-1|$ grafiği üzerindeki noktaların y-koordinatlarından daha küçük y-koordinatlarına sahip tüm noktaları ifade eder.
Geometrik olarak, bir noktanın y-koordinatının daha küçük olması, o noktanın grafiğin "altında" yer alması demektir.
Eşitsizliğin hangi bölgeyi temsil ettiğini kesin olarak belirlemek için, $y = |x-1|$ grafiği üzerinde olmayan herhangi bir noktayı seçip eşitsizlikte yerine koyabiliriz.
En kolay test noktalarından biri genellikle $(0,0)$ noktasıdır (eğer grafik bu noktadan geçmiyorsa). Bizim grafiğimiz $y = |x-1|$ $(0,0)$ noktasından geçmez çünkü $|0-1| = |-1| = 1$, yani $(0,0)$ noktası için $y=0$ iken $|x-1|=1$ olur. $0 \neq 1$.
Şimdi $(0,0)$ noktasını $y < |x-1|$ eşitsizliğinde deneyelim:
$y = 0$ ve $x = 0$ için:
$0 < |0-1|$
$0 < |-1|$
$0 < 1$
Bu ifade doğrudur ($0$ gerçekten $1$'den küçüktür).
Test noktamız olan $(0,0)$ eşitsizliği sağladığına göre, bu nokta eşitsizliğin çözüm kümesinin bir parçasıdır. $(0,0)$ noktası, V şeklindeki grafiğin "içinde" veya "altında" kalan bir noktadır.
Dolayısıyla, $y < |x-1|$ eşitsizliğinin grafiği, V şeklindeki $y = |x-1|$ grafiğinin altında kalan bölgedir.
Ayrıca, eşitsizlik $y < |x-1|$ şeklinde olduğu için (yani "küçüktür" işareti, "küçük eşittir" değil), grafiğin kendisi (V şeklindeki çizgiler) çözüm kümesine dahil değildir. Bu genellikle kesikli çizgi ile gösterilir, ancak seçeneklerde tarama bölgesi sorulduğu için bu detay şu an için ikincil öneme sahiptir.
Yukarıdaki adımlara göre:
A) V şeklindeki grafiğin üstü taranır: Yanlış, çünkü $y$ değerleri daha küçük olmalı.
B) V şeklindeki grafiğin altı taranır: Doğru, çünkü $y$ değerleri daha küçük olmalı ve test noktamız bu bölgede.
C) V şeklindeki grafiğin kendisi taranır: Yanlış, çünkü eşitsizlikte "eşitlik" durumu yok ($<$ yerine $\le$ olsaydı doğru olabilirdi).
D) V şeklindeki grafiğin dışı taranır: Yanlış, V şeklinin "dışı" aslında üstü ve yanları anlamına gelebilir, ama "altı" en net ifadedir.
Bu adımları takip ettiğimizde, doğru cevabın V şeklindeki grafiğin altının taranması gerektiğini görüyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
