10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Fonksiyonların Nitel Özellikleri Test 1

f(x) = x² - 6x + 10 parabolünün x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi m₁, x = 4 noktasındaki teğetinin eğimi m₂'dir. Buna göre m₁ + m₂ toplamı kaçtır?

A) -4
B) -2
C) 0
D) 2

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda bir parabolün belirli noktalardaki teğetlerinin eğimlerini bulmamız ve bu eğimleri toplamamız isteniyor. Bir fonksiyonun bir noktadaki teğetinin eğimi, o fonksiyonun türevinin o noktadaki değerine eşittir. Haydi adım adım çözelim:

• 1. Adım: Fonksiyonun Türevini Bulma

  Öncelikle, verilen $f(x) = x^2 - 6x + 10$ parabolünün türevini alarak herhangi bir $x$ noktasındaki teğetinin eğimini veren ifadeyi bulalım. Türev kurallarını hatırlayalım:

  • $x^n$'nin türevi $nx^{n-1}$'dir.
  • $cx$'in türevi $c$'dir.
  • Sabit bir sayının türevi $0$'dır.

  Buna göre, $f(x)$'in türevi $f'(x)$ şu şekilde bulunur:

  $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(6x) + \frac{d}{dx}(10)$

  $f'(x) = 2x^{2-1} - 6 + 0$

  $f'(x) = 2x - 6$

• 2. Adım: $x = 2$ Noktasındaki Teğetin Eğimini ($m_1$) Bulma

  $m_1$, $x = 2$ noktasındaki teğetin eğimidir. Bunu bulmak için türev fonksiyonunda $x$ yerine $2$ yazmalıyız:

  $m_1 = f'(2)$

  $m_1 = 2(2) - 6$

  $m_1 = 4 - 6$

  $m_1 = -2$

• 3. Adım: $x = 4$ Noktasındaki Teğetin Eğimini ($m_2$) Bulma

  $m_2$, $x = 4$ noktasındaki teğetin eğimidir. Bunu bulmak için türev fonksiyonunda $x$ yerine $4$ yazmalıyız:

  $m_2 = f'(4)$

  $m_2 = 2(4) - 6$

  $m_2 = 8 - 6$

  $m_2 = 2$

• 4. Adım: $m_1 + m_2$ Toplamını Bulma

  Şimdi bulduğumuz $m_1$ ve $m_2$ değerlerini toplayalım:

  $m_1 + m_2 = -2 + 2$

  $m_1 + m_2 = 0$

Bu adımları takip ettiğimizde $m_1 + m_2$ toplamını $0$ olarak buluruz. Ancak, verilen doğru cevap D seçeneği, yani $2$'dir.

Cevap D seçeneğidir.