Bir öğrenci \( \sum_{k=1}^{n} (3k-1) \) toplamını hesaplamak istiyor. Bu toplamın değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) \( \frac{n(3n+1)}{2} \)
B) \( \frac{n(3n-1)}{2} \)
C) \( \frac{n(3n+2)}{2} \)
D) \( \frac{n(3n-2)}{2} \)
Merhaba arkadaşlar, bu soruyu adım adım çözerek toplam sembolünün (∑) ne anlama geldiğini ve nasıl kullanıldığını daha iyi anlayacağız. Unutmayın, matematiksel ifadeleri basitleştirmek ve çözmek için doğru adımları izlemek çok önemlidir.
- Adım 1: Toplam Sembolünü Anlamak
- $ \sum_{k=1}^{n} (3k-1) $ ifadesi, $k$'nin 1'den $n$'ye kadar olan tüm değerleri için $ (3k-1) $ ifadesinin toplamını almamız gerektiğini söyler. Yani, $k=1, 2, 3, ..., n$ değerlerini sırayla yerine koyup bulduğumuz sonuçları toplayacağız.
- Adım 2: Toplamı Açmak
- Toplamı açarak daha anlaşılır hale getirelim:
$ (3(1)-1) + (3(2)-1) + (3(3)-1) + ... + (3(n)-1) $
- Bu ifadeyi biraz daha basitleştirelim:
$ 2 + 5 + 8 + ... + (3n-1) $
- Adım 3: Aritmetik Dizi Olduğunu Fark Etmek
- Bu bir aritmetik dizidir. İlk terimi 2, ortak farkı ise 3'tür. Aritmetik dizilerin toplamını bulmak için bir formülümüz var.
- Adım 4: Aritmetik Dizi Toplam Formülünü Hatırlamak
- Bir aritmetik dizinin ilk $n$ teriminin toplamı şu formülle bulunur:
$ S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] $
Burada:
- $S_n$ : İlk $n$ terimin toplamı
- $a$ : İlk terim
- $d$ : Ortak fark
- Adım 5: Formülü Uygulamak
- Bizim örneğimizde, $a = 2$ ve $d = 3$. Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:
$ S_n = \frac{n}{2} [2(2) + (n-1)3] $
- $ S_n = \frac{n}{2} [4 + 3n - 3] $
- $ S_n = \frac{n}{2} [3n + 1] $
- $ S_n = \frac{n(3n+1)}{2} $
- Adım 6: Sonucu Kontrol Etmek
- Bulduğumuz sonuç, A seçeneğinde verilen ifadeyle aynıdır.
Bu nedenle, $ \sum_{k=1}^{n} (3k-1) = \frac{n(3n+1)}{2} $
Cevap A seçeneğidir.
