Soru:
Aşağıdaki toplamı hesaplayınız: \(\sum_{k=1}^{n} (2k - 1)\)
Çözüm:
💡 Bu, ilk \(n\) tek doğal sayının toplamıdır. İki farklı yöntemle çözebiliriz.
- ➡️ 1. Yöntem (Doğrudan Formül): İlk \(n\) tek sayının toplamı \(n^2\) formülü ile verilir. Bu durumda \(n=5\) olduğundan, cevap \(5^2 = 25\) olur.
- ➡️ 2. Yöntem (Toplamı Ayırma): Toplamı, sabit bir sayı ile bir sabit çarpı toplam şeklinde yazabiliriz: \(\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = 2\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1\). İlk \(n\) doğal sayının toplam formülü \(\frac{n(n+1)}{2}\) ve \(n\) tane 1'in toplamı da \(n\)'dir. Yerine koyarsak: \(2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n = n(n+1) - n = n^2 + n - n = n^2\).
✅ Sonuç olarak, \(\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = n^2\) bulunur.
