Üçgende bir dış açı kuralı Test 2

Bir üçgenin iç açılarından birinin ölçüsü diğer iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
Bu üçgenin en büyük dış açısının ölçüsü kaç derecedir?

A) 90
B) 120
C) 135
D) 150

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruyu adım adım, dikkatlice inceleyerek çözelim. Bir üçgenin iç açıları ve dış açıları arasındaki ilişkileri hatırlayarak doğru cevaba ulaşacağız.

• Adım 1: Üçgenin İç Açılarını Tanımlayalım

  Bir üçgenin iç açıları genellikle $A$, $B$ ve $C$ harfleriyle gösterilir. Bu açıların toplamı her zaman $180^\circ$ derecedir. Yani:

  $A + B + C = 180^\circ$

• Adım 2: Verilen Koşulu Uygulayalım

  Soru bize "Bir üçgenin iç açılarından birinin ölçüsü diğer iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir" diyor. Diyelim ki bu açı $A$ olsun. O zaman:

  $A = B + C$

• Adım 3: A Açısının Değerini Bulalım

  Şimdi, $A + B + C = 180^\circ$ denkleminde $B + C$ yerine $A$ yazabiliriz:

  $A + A = 180^\circ$

  $2A = 180^\circ$

  $A = rac{180^\circ}{2}$

  $A = 90^\circ$

  Bu, üçgenin bir açısının $90^\circ$ olduğu anlamına gelir. Yani bu üçgen bir dik üçgendir.

• Adım 4: Diğer İki Açının Toplamını Bulalım

  $A = B + C$ ve $A = 90^\circ$ olduğuna göre:

  $B + C = 90^\circ$

  Bu, dik üçgenin dik açı dışındaki diğer iki açısının (dar açılarının) toplamının $90^\circ$ olduğunu gösterir.

• Adım 5: Dış Açıları Hatırlayalım

  Bir üçgenin dış açısı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Veya, bir dış açı ile komşu iç açının toplamı $180^\circ$'dir.

  A açısının dış açısı $D_A = 180^\circ - A = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

  B açısının dış açısı $D_B = 180^\circ - B$.

  C açısının dış açısı $D_C = 180^\circ - C$.

• Adım 6: En Büyük Dış Açıyı Bulmak İçin En Küçük İç Açıyı Belirleyelim

  Bir dış açının en büyük olması için, ona komşu olan iç açının en küçük olması gerekir. Bizim üçgenimizde bir açı $90^\circ$'dir. Diğer iki açı $B$ ve $C$ ise dar açılardır (yani $0^\circ < B < 90^\circ$ ve $0^\circ < C < 90^\circ$).

  Bu durumda, $D_B$ ve $D_C$ açıları $90^\circ$'den büyük olacaktır. $D_A$ ise $90^\circ$'dir. Dolayısıyla en büyük dış açı $D_B$ veya $D_C$ olacaktır.

  Normalde, $B$ ve $C$ açıları farklı değerler alabilir (örneğin $B=30^\circ, C=60^\circ$ veya $B=10^\circ, C=80^\circ$). Bu durumda en büyük dış açı da değişir. Örneğin, $B=10^\circ$ ise $D_B = 180^\circ - 10^\circ = 170^\circ$ olur.

  Ancak, soru bize seçenekler sunuyor ve tek bir doğru cevap bekliyor. Bu tür durumlarda, genellikle bu koşulu sağlayan ve en büyük dış açının alabileceği belirli bir değeri veren özel bir üçgen kastedilir. Bu özel üçgen, diğer iki dar açının birbirine eşit olduğu ikizkenar dik üçgendir.

• Adım 7: İkizkenar Dik Üçgen Durumunu İnceleyelim

  Eğer $B$ ve $C$ açıları birbirine eşitse:

  $B + C = 90^\circ \implies B + B = 90^\circ \implies 2B = 90^\circ \implies B = 45^\circ$.

  Dolayısıyla $C = 45^\circ$ olur.

  Bu durumda üçgenin iç açıları $90^\circ$, $45^\circ$ ve $45^\circ$'dir.

  Şimdi bu üçgenin dış açılarını hesaplayalım:

  • $90^\circ$'lik açının dış açısı: $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
  • Bir $45^\circ$'lik açının dış açısı: $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
  • Diğer $45^\circ$'lik açının dış açısı: $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

  Bu üç dış açıdan en büyüğü $135^\circ$'dir.

Bu özel durumda, yani ikizkenar dik üçgende, en büyük dış açı $135^\circ$ olarak bulunur ve bu değer seçenekler arasında yer almaktadır.

Cevap C seçeneğidir.