5. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinden seçilen bir küme için, bu kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı 6'dır. Buna göre, A kümesinden bu kümenin farkının eleman sayısı kaçtır?
A) 1Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek konuyu daha iyi anlamanızı sağlayalım.
Bize $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ kümesi verilmiş. Bu kümenin eleman sayısı $|A| = 6$'dır. A kümesinden bir alt küme seçiliyor. Bu alt kümeye $K$ diyelim. Soruda, bu $K$ kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısının 6 olduğu belirtiliyor. Bizden istenen ise $A$ kümesinden $K$ kümesinin farkının eleman sayısıdır, yani $|A \setminus K|$ değerini bulmaktır.
Bir kümenin $r$ elemanlı alt kümelerinin sayısı, kombinasyon formülü ile bulunur. Eğer $K$ kümesinin eleman sayısı $k$ ise, bu kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı $\binom{k}{2}$ şeklinde gösterilir. Soruda bu sayının 6 olduğu verilmiş, yani:
$\binom{k}{2} = 6$
Kombinasyon formülünü hatırlayalım: $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$. Bu durumda:
$\frac{k!}{2!(k-2)!} = 6$
Bu ifadeyi açarsak:
$\frac{k \times (k-1) \times (k-2)!}{2 \times 1 \times (k-2)!} = 6$
$(k-2)!$ ifadeleri sadeleşir:
$\frac{k \times (k-1)}{2} = 6$
Şimdi denklemi çözelim:
$k \times (k-1) = 6 \times 2$
$k \times (k-1) = 12$
Bu denklemde, $k$ ve $(k-1)$ ardışık iki sayıdır. Hangi ardışık iki sayının çarpımı 12 eder diye düşündüğümüzde, $4 \times 3 = 12$ olduğunu görürüz. Dolayısıyla, $k=4$ olmalıdır.
Bu durumda, seçilen $K$ kümesinin eleman sayısı 4'tür, yani $|K|=4$.
Bizden istenen, $A$ kümesinden $K$ kümesinin farkının eleman sayısıdır. Bu, $A$ kümesinde olup $K$ kümesinde olmayan elemanların sayısı anlamına gelir ve $|A \setminus K|$ şeklinde gösterilir.
Bu değer, $|A| - |K|$ formülü ile bulunur.
$|A| = 6$ (verilmiş)
$|K| = 4$ (bir önceki adımda bulduk)
O halde:
$|A \setminus K| = |A| - |K| = 6 - 4 = 2$
Yani, $A$ kümesinden $K$ kümesinin farkının eleman sayısı 2'dir.
Cevap B seçeneğidir.
