Taban yarıçapı 4 cm olan bir silindirin içine, tabanı silindirin tabanına ve tepe noktası silindirin üst taban merkezine değecek şekilde bir koni yerleştiriliyor. Silindirin yüksekliği 9 cm olduğuna göre, koni dışında kalan bölgenin hacmi kaç cm³'tür? (π=3 alınız)
A) 216
B) 240
C) 288
D) 324
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir silindirin içine yerleştirilmiş bir koni var ve bizden koni dışında kalan bölgenin hacmini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu problemi kolayca çözelim.
- 1. Verilen Bilgileri Belirleyelim:
- Silindirin taban yarıçapı ($r_s$) = 4 cm.
- Silindirin yüksekliği ($h_s$) = 9 cm.
- Koni, silindirin içine yerleştirilmiş.
- Koninin tabanı, silindirin tabanıyla aynı. Bu durumda koninin taban yarıçapı ($r_k$) da silindirin taban yarıçapına eşit olacaktır: $r_k = 4$ cm.
- Koninin tepe noktası, silindirin üst taban merkezine değiyor. Bu da koninin yüksekliğinin ($h_k$) silindirin yüksekliğine eşit olduğu anlamına gelir: $h_k = 9$ cm.
- $\pi$ değerini 3 almamız isteniyor.
- 2. Silindirin Hacmini Hesaplayalım:
- Bir silindirin hacim formülü $V_s = \pi r_s^2 h_s$'dir.
- Verilen değerleri yerine yazalım: $V_s = 3 \times (4 \text{ cm})^2 \times 9 \text{ cm}$.
- Önce yarıçapın karesini alalım: $4^2 = 16$.
- Şimdi çarpma işlemlerini yapalım: $V_s = 3 \times 16 \times 9$.
- $V_s = 48 \times 9$.
- $V_s = 432 \text{ cm}^3$.
- 3. Koninin Hacmini Hesaplayalım:
- Bir koninin hacim formülü $V_k = \frac{1}{3} \pi r_k^2 h_k$'dir.
- Verilen değerleri yerine yazalım: $V_k = \frac{1}{3} \times 3 \times (4 \text{ cm})^2 \times 9 \text{ cm}$.
- Burada $\frac{1}{3}$ ile 3 birbirini götürür (sadeleşir).
- Geriye kalan ifade: $V_k = 1 \times (4 \text{ cm})^2 \times 9 \text{ cm}$.
- Yine yarıçapın karesini alalım: $4^2 = 16$.
- Şimdi çarpma işlemlerini yapalım: $V_k = 1 \times 16 \times 9$.
- $V_k = 144 \text{ cm}^3$.
- 4. Koni Dışında Kalan Bölgenin Hacmini Bulalım:
- Koni dışında kalan bölgenin hacmi, silindirin toplam hacminden koninin hacminin çıkarılmasıyla bulunur.
- $V_{\text{kalan}} = V_s - V_k$.
- $V_{\text{kalan}} = 432 \text{ cm}^3 - 144 \text{ cm}^3$.
- $V_{\text{kalan}} = 288 \text{ cm}^3$.
Bu durumda, koni dışında kalan bölgenin hacmi $288 \text{ cm}^3$'tür.
Cevap C seçeneğidir.
