Hava direnci (Limit hız) nedir Test 1

Kütlesi 2m olan bir cismin limit hızı v'dir. Aynı şekle sahip kütlesi m olan bir cismin limit hızı kaç v olur?

A) $\frac{1}{2}$v
B) $\frac{1}{\sqrt{2}}$v
C) $\sqrt{2}$v
D) 2v

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, cisimlerin limit hızlarını kütleleriyle nasıl ilişkilendireceğimizi öğreneceğiz. Limit hız, bir cismin düşerken hava direnci kuvvetinin yerçekimi kuvvetine eşit olduğu anda ulaştığı sabit hızdır. Bu durumda cisim ivmelenmeyi durdurur ve sabit bir hızla düşmeye devam eder.

• Adım 1: Limit Hız Koşulunu Belirleyelim

Bir cisim limit hıza ulaştığında, üzerine etki eden net kuvvet sıfır olur. Bu da yerçekimi kuvveti ($F_g$) ile hava direnci kuvvetinin ($F_d$) birbirine eşit olduğu anlamına gelir.

$F_g = F_d$

• Adım 2: Kuvvetleri Matematiksel Olarak İfade Edelim

Yerçekimi kuvveti, cismin kütlesi ($m$) ile yerçekimi ivmesinin ($g$) çarpımıdır:

$F_g = mg$

Hava direnci kuvveti genellikle cismin hızıyla orantılıdır. Yüksek hızlarda ve büyük cisimler için bu oran hızın karesiyle doğru orantılı kabul edilir. Cismin şekli aynı olduğu için, hava direnci katsayısı ($k$) her iki cisim için de aynı olacaktır:

$F_d = k v^2$

Burada $v$ limit hızı, $k$ ise cismin şekline, boyutuna ve havanın yoğunluğuna bağlı bir sabittir.

• Adım 3: Limit Hız Denklemini Oluşturalım

Yerçekimi kuvvetini hava direnci kuvvetine eşitleyerek limit hız için bir denklem elde ederiz:

$mg = k v^2$

Bu denklemden limit hızı ($v$) çekebiliriz:

$v^2 = \frac{mg}{k}$

$v = \sqrt{\frac{mg}{k}}$

• Adım 4: İlk Cisim İçin Verilenleri Kullanalım

Soruda kütlesi $2m$ olan cismin limit hızının $v$ olduğu belirtilmiş. Bu bilgiyi yukarıdaki denklemde yerine yazalım:

$v = \sqrt{\frac{(2m)g}{k}}$

Bu ifadeyi daha rahat kullanabilmek için karesini alabiliriz:

$v^2 = \frac{2mg}{k}$

• Adım 5: İkinci Cisim İçin Limit Hızı Bulalım

Kütlesi $m$ olan cismin limit hızını $v'$ olarak adlandıralım. Aynı denklemi bu cisim için de yazalım:

$v' = \sqrt{\frac{mg}{k}}$

Yine karesini alalım:

$(v')^2 = \frac{mg}{k}$

• Adım 6: İki Durumu Birbiriyle İlişkilendirelim

Şimdi elimizde iki denklem var:

1. $v^2 = \frac{2mg}{k}$
2. $(v')^2 = \frac{mg}{k}$

Birinci denklemden $\frac{mg}{k}$ ifadesini çekebiliriz:

$\frac{mg}{k} = \frac{v^2}{2}$

Bu ifadeyi ikinci denklemde yerine yazalım:

$(v')^2 = \frac{v^2}{2}$

Şimdi her iki tarafın karekökünü alarak $v'$ değerini bulalım:

$v' = \sqrt{\frac{v^2}{2}}$

$v' = \frac{\sqrt{v^2}}{\sqrt{2}}$

$v' = \frac{v}{\sqrt{2}}$

Bu da $\frac{1}{\sqrt{2}}v$ anlamına gelir.

Cevap B seçeneğidir.