Bir nüfus artış modelinde P(t) = P₀·10ᵏᵗ formülü kullanılıyor. Başlangıç nüfusu 1000 ve 10 yıl sonra nüfus 10000 olduğuna göre, k değeri kaçtır?
A) 0,1Bu soruda, bir nüfusun zamanla nasıl değiştiğini gösteren bir matematiksel modelle karşı karşıyayız. Amacımız, verilen bilgiler ışığında bu modeldeki büyüme sabiti olan $k$ değerini bulmak.
Bize verilen nüfus artış modeli formülü şudur: $P(t) = P_0 \cdot 10^{kt}$
Burada:
$P(t)$: $t$ anındaki nüfusu gösterir.
$P_0$: Başlangıç nüfusunu (yani $t=0$ anındaki nüfusu) gösterir.
$k$: Nüfusun büyüme hızını belirleyen bir sabittir ve bizim bulmamız gereken değer budur.
$t$: Geçen zamanı (yıl olarak) gösterir.
Soruda verilen bilgiler ise şunlardır:
Başlangıç nüfusu ($P_0$) = $1000$
$10$ yıl sonraki nüfus ($P(10)$) = $10000$
Zaman ($t$) = $10$ yıl
Şimdi, bildiğimiz değerleri $P(t) = P_0 \cdot 10^{kt}$ formülünde yerine yazalım:
$10000 = 1000 \cdot 10^{k \cdot 10}$
Denklemdeki $k$ değerini bulmak için denklemi sadeleştirmemiz gerekiyor. İlk olarak, eşitliğin her iki tarafını $P_0$ yani $1000$ ile bölelim:
$\frac{10000}{1000} = \frac{1000 \cdot 10^{10k}}{1000}$
Bu işlemi yaptığımızda denklem şu hale gelir:
$10 = 10^{10k}$
Şimdi elimizde $10 = 10^{10k}$ denklemi var. Üslü sayılar kuralına göre, eğer tabanlar eşitse (burada her iki tarafın tabanı da $10$), o zaman üsler de eşit olmak zorundadır.
Sol taraftaki $10$ sayısını $10^1$ olarak yazabiliriz. Yani denklemimiz:
$10^1 = 10^{10k}$
Tabanlar eşit olduğu için üsleri eşitleyebiliriz:
$1 = 10k$
Son olarak, $1 = 10k$ denkleminden $k$ değerini bulmak için eşitliğin her iki tarafını $10$ ile bölelim:
$k = \frac{1}{10}$
$k = 0.1$
Böylece, büyüme sabiti $k$ değerini $0.1$ olarak bulmuş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
