Bu soruda, iki doğru arasındaki uzaklığı bulmamız isteniyor. Öncelikle doğruların birbirine göre konumunu anlamamız gerekiyor.
- 1. Adım: Doğruların Konumunu Belirleme
- Verilen doğrular:
- Birinci doğru: $y = 2x + 5$
- İkinci doğru: $y = 2x - 3$
- Bu doğruların eğimlerini inceleyelim. Her iki doğru da $y = mx + c$ formundadır, burada $m$ eğimi temsil eder.
- Birinci doğrunun eğimi $m_1 = 2$.
- İkinci doğrunun eğimi $m_2 = 2$.
- Eğimler eşit olduğu için ($m_1 = m_2$), bu iki doğru birbirine paraleldir. Paralel doğrular arasındaki uzaklık sabittir ve belirli bir formülle hesaplanır.
- 2. Adım: Doğruları Genel Denklem Formuna Dönüştürme
- Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülünü kullanabilmek için doğruları $Ax + By + C = 0$ genel denklem formuna getirmeliyiz.
- Birinci doğru ($y = 2x + 5$):
- $2x - y + 5 = 0$
- Buradan $A = 2$, $B = -1$, $C_1 = 5$ değerlerini elde ederiz.
- İkinci doğru ($y = 2x - 3$):
- $2x - y - 3 = 0$
- Buradan $A = 2$, $B = -1$, $C_2 = -3$ değerlerini elde ederiz.
- Gördüğünüz gibi, $A$ ve $B$ katsayıları her iki doğru için de aynıdır, bu da doğruların paralel olduğunu bir kez daha doğrular.
- 3. Adım: Paralel Doğrular Arasındaki Uzaklık Formülünü Uygulama
- Paralel $Ax + By + C_1 = 0$ ve $Ax + By + C_2 = 0$ doğruları arasındaki uzaklık $d$ formülü şöyledir:
- $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
- Şimdi bulduğumuz değerleri formülde yerine yazalım:
- $A = 2$, $B = -1$, $C_1 = 5$, $C_2 = -3$.
- $d = \frac{|5 - (-3)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$
- $d = \frac{|5 + 3|}{\sqrt{4 + 1}}$
- $d = \frac{|8|}{\sqrt{5}}$
- $d = \frac{8}{\sqrt{5}}$ birim.
Bu durumda, doğrular arasındaki uzaklık $\frac{8}{\sqrt{5}}$ birimdir.
Cevap D seçeneğidir.
