Soru:
Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı ile paralel iki doğru arasındaki uzaklık ilişkisini kullanarak, \( A(1, 2) \) noktasının \( 5x + 12y - 60 = 0 \) doğrusuna olan uzaklığını bulunuz. Daha sonra, bu doğruya paralel ve \( A \) noktasından geçen doğrunun denklemini yazıp, iki paralel doğru arasındaki uzaklığın yine aynı sonucu verdiğini gösteriniz.
Çözüm:
💡 Bir noktanın bir doğruya uzaklığı formülü: \( \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \). Ayrıca, bir noktadan geçen ve verilen bir doğruya paralel olan doğrunun denklemi, sadece sabit terim farklı olacak şekilde yazılır.
- ➡️ İlk adım, noktanın doğruya uzaklığını hesaplamak: \( \frac{|5(1) + 12(2) - 60|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{|5 + 24 - 60|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{|-31|}{\sqrt{169}} = \frac{31}{13} \).
- ➡️ İkinci adım, \( A \) noktasından geçen ve verilen doğruya paralel olan doğrunun denklemini yazmak. Paralel doğrunun denklemi \( 5x + 12y + k = 0 \) şeklindedir. \( A(1,2) \) noktasını yerine koyarsak: \( 5(1) + 12(2) + k = 0 \) → \( 5 + 24 + k = 0 \) → \( k = -29 \). Yeni doğru: \( 5x + 12y - 29 = 0 \).
- ➡️ Üçüncü adım, iki paralel doğru (\( 5x + 12y - 60 = 0 \) ve \( 5x + 12y - 29 = 0 \)) arasındaki uzaklığı hesaplamak: \( \frac{|-60 - (-29)|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{|-31|}{13} = \frac{31}{13} \).
✅ Sonuç: Her iki yöntemle de uzaklık \( \frac{31}{13} \) birim bulunur, bu da formüllerin tutarlılığını gösterir.
