Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü

\(ax + 6y + 2 = 0\) ve \(3x - 8y + 5 = 0\) doğruları paralel olduğuna göre, \(a\) kaçtır? Ayrıca, bu iki paralel doğru arasındaki uzaklığı bulunuz.

💡 Önce paralellik şartını kullanarak \(a\)'yı bulmalıyız. İki doğrunun paralel olması için eğimleri eşit olmalıdır. Genel formda bu, \(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}\) şeklinde ifade edilir.

• ➡️ Birinci doğru: \(ax + 6y + 2 = 0\) → \(a_1 = a\), \(b_1 = 6\)
• ➡️ İkinci doğru: \(3x - 8y + 5 = 0\) → \(a_2 = 3\), \(b_2 = -8\)
• ➡️ Paralellik şartı: \(\frac{a}{6} = \frac{3}{-8}\) → \(a = \frac{3 \cdot 6}{-8} = \frac{18}{-8} = -\frac{9}{4}\)

🔍 Şimdi uzaklığı bulalım. İlk doğru denklemi \(-\frac{9}{4}x + 6y + 2 = 0\) olur. Katsayıları tamsayı yapmak için 4 ile çarpalım: \(-9x + 24y + 8 = 0\). İkinci doğru da \(3x - 8y + 5 = 0\).

• ➡️ Katsayıların oranı aynı olmalı. İkinci doğruyu -3 ile çarparsak: \(-9x + 24y - 15 = 0\) olur.
• ➡️ Artık doğrularımız: \(-9x + 24y + 8 = 0\) ve \(-9x + 24y - 15 = 0\)
• ➡️ \(a=-9\), \(b=24\), \(c_1=8\), \(c_2=-15\)
• ➡️ Uzaklık formülü: \(d = \frac{|8 - (-15)|}{\sqrt{(-9)^2 + 24^2}} = \frac{|23|}{\sqrt{81 + 576}} = \frac{23}{\sqrt{657}}\)

✅ \(a = -\frac{9}{4}\) ve iki doğru arasındaki uzaklık \(\frac{23}{\sqrt{657}}\) birimdir.