🎓 Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü Test 2 - Ders Notu
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu ders notu, paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülünü ve bu konuyu anlamak için gerekli temel bilgileri kolayca öğrenmeniz için hazırlandı. Testteki soruları çözerken bu notlardan faydalanabilirsiniz.
📌 Doğru Denklemleri ve Paralellik
İki doğru arasındaki uzaklığı hesaplayabilmek için öncelikle doğru denklemlerini iyi anlamalı ve doğruların ne zaman paralel olduğunu bilmeliyiz.
- Genel Doğru Denklemi: Bir doğrunun denklemi genellikle $Ax + By + C = 0$ şeklinde ifade edilir. Burada $A$, $B$ ve $C$ birer sabittir.
- Eğim: Bir doğrunun eğimi, doğrunun yatay eksenle yaptığı açının tanjantıdır ve doğrunun ne kadar "dik" olduğunu gösterir. Genel denklemden eğim $m = -\frac{A}{B}$ olarak bulunur.
- Paralellik Şartı: İki doğru birbirine paralelse, eğimleri eşittir. Yani $m_1 = m_2$ olmalıdır. Eğer doğruların denklemleri $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ ve $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ ise, paralel olmaları için $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$ oranı sağlanmalıdır.
💡 İpucu: Paralel doğrular asla kesişmezler. Tren rayları veya bir defterin karşıt kenarları gibi düşünebilirsiniz.
📌 Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı
Paralel doğrular arasındaki uzaklığı bulmanın temelinde, bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını bulma yatar. Bu formülü iyi bilmek çok önemlidir!
- Formül: Koordinatları $(x_0, y_0)$ olan bir noktanın, denklemi $Ax + By + C = 0$ olan bir doğruya olan uzaklığı $d$ şu formülle hesaplanır:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
- Mutlak Değer: Uzaklık her zaman pozitif bir değer olduğu için formüldeki mutlak değer işaretine dikkat edin.
⚠️ Dikkat: Formülü kullanırken doğru denkleminin mutlaka $Ax + By + C = 0$ şeklinde olduğundan emin olun. Yani tüm terimler bir tarafta toplanmış ve eşitliğin diğer tarafı sıfır olmalı.
📌 Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık Formülü
Şimdi gelelim ana konumuza! İki paralel doğru arasındaki uzaklığı bulmak için, aslında bu doğruların birinden bir nokta seçip, o noktanın diğer doğruya olan uzaklığını hesaplarız. Ancak bunun daha pratik bir formülü var.
- Adım 1: Denklemleri Düzenleme: Paralel doğruların denklemleri $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ ve $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ olsun. Uzaklık formülünü kullanabilmek için, $x$ ve $y$ terimlerinin katsayılarını eşitlemeliyiz. Yani $A_1 = A_2$ ve $B_1 = B_2$ olana kadar denklemlerden birini veya her ikisini uygun bir sayıyla çarpmalıyız.
Örnek: $2x + 4y + 5 = 0$ ve $x + 2y - 3 = 0$ doğruları için, ikinci denklemi $2$ ile çarparak $2x + 4y - 6 = 0$ haline getiririz. Şimdi $A=2$, $B=4$ oldu.
- Formül: Denklemler $Ax + By + C_1 = 0$ ve $Ax + By + C_2 = 0$ şekline getirildikten sonra, aralarındaki uzaklık $d$ şu formülle bulunur:
$d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
💡 İpucu: Formülün pay kısmındaki $|C_1 - C_2|$ ifadesi, sabit terimler arasındaki farkın mutlak değerini gösterir. Payda ise bir noktanın doğruya uzaklığı formülündeki payda ile aynıdır.
📝 Örnek Uygulama:
Doğrular: $3x + 4y - 10 = 0$ ve $3x + 4y + 5 = 0$
Burada $A=3$, $B=4$, $C_1=-10$, $C_2=5$.
Uzaklık $d = \frac{|(-10) - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-15|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$ birimdir.
📌 Denklem Düzenleme ve Katsayı Eşitleme
Testte karşınıza çıkabilecek en önemli noktalardan biri, doğruların denklemlerini doğru formata getirmektir. Bazen denklemler doğrudan paralel uzaklık formülünü kullanmaya uygun olmayabilir.
- Amacımız: İki paralel doğrunun denklemlerinde $x$'in katsayısı ($A$) ve $y$'nin katsayısı ($B$) aynı olmalıdır.
- Nasıl Yapılır: Denklemlerden birini veya her ikisini uygun bir sabit sayıyla çarparak bu eşitliği sağlarız.
Örnek: $2x - y + 7 = 0$ ve $4x - 2y + 1 = 0$
Burada birinci denklemi $2$ ile çarparsak: $2 \times (2x - y + 7) = 0 \Rightarrow 4x - 2y + 14 = 0$ olur.
Şimdi denklemler $4x - 2y + 14 = 0$ ve $4x - 2y + 1 = 0$ şekline geldi. Artık $A=4$, $B=-2$ ve $C_1=14$, $C_2=1$ değerlerini kullanarak uzaklığı hesaplayabiliriz.
⚠️ Dikkat: Denklemi bir sayıyla çarparken, tüm terimleri (hem $x$, $y$ katsayılarını hem de sabit $C$ terimini) çarpmayı unutmayın. Aksi takdirde denklemin değeri değişir!
Umarım bu notlar konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olur. Başarılar dilerim! 🚀
