Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü Test 2

10. 5x + 12y - 26 = 0 ve 5x + 12y + 13 = 0 denklemleriyle verilen paralel doğrular arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Sevgili öğrenciler, bu soruda paralel iki doğru arasındaki uzaklığı bulmamız isteniyor. İki doğrunun paralel olduğunu, $x$ ve $y$ terimlerinin katsayılarının aynı olmasından anlayabiliriz. Şimdi adım adım çözümümüzü yapalım.

• 1. Adım: Paralel Doğrular Arasındaki Uzaklık Formülünü Hatırlayalım

Genel denklemleri $Ax + By + C_1 = 0$ ve $Ax + By + C_2 = 0$ olan iki paralel doğru arasındaki uzaklık $d$ formülü ile bulunur:

$d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

• 2. Adım: Verilen Doğru Denklemlerini İnceleyelim

Soruda verilen denklemler şunlardır:

Birinci doğru ($L_1$): $5x + 12y - 26 = 0$

İkinci doğru ($L_2$): $5x + 12y + 13 = 0$

Bu denklemlerden katsayıları belirleyelim:

$A = 5$

$B = 12$

$C_1 = -26$

$C_2 = 13$

• 3. Adım: Katsayıları Formülde Yerine Koyalım

Şimdi belirlediğimiz $A$, $B$, $C_1$ ve $C_2$ değerlerini uzaklık formülünde yerine yazalım:

$d = \frac{|(-26) - (13)|}{\sqrt{5^2 + 12^2}}$

• 4. Adım: İşlemleri Yapalım

Mutlak değerin içindeki ve karekökün içindeki işlemleri sırasıyla yapalım:

Pay kısmını hesaplayalım:

$|(-26) - (13)| = |-26 - 13| = |-39| = 39$

Payda kısmını hesaplayalım:

$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169}$

Karekök 169'un değeri $13$'tür. Yani $\sqrt{169} = 13$.

• 5. Adım: Uzaklığı Bulalım

Şimdi pay ve paydayı yerine yazarak uzaklığı hesaplayalım:

$d = \frac{39}{13}$

$d = 3$ birim

Bu durumda, paralel doğrular arasındaki uzaklık $3$ birimdir.

Cevap C seçeneğidir.