Bir mühendis, üçgen şeklindeki bir arsanın bir köşesinden çıkan açıortayı hesaplamaktadır. Kenar uzunlukları 20 m ve 30 m olan arsada, açıortayın karşı kenarı böldüğü parçalardan biri 8 m ise diğer parça kaç metredir?
A) 10Sevgili öğrenciler, bu problemde bir üçgenin açıortayını ve kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. Bu tür problemler, geometri derslerinde sıkça karşımıza çıkan Açıortay Teoremi ile kolayca çözülebilir.
Bir mühendis, üçgen şeklindeki bir arsanın bir köşesinden çıkan açıortayı hesaplıyor. Bize açıortayın çıktığı köşeye komşu olan kenarların uzunlukları (20 m ve 30 m) ve açıortayın karşı kenarı böldüğü parçalardan birinin uzunluğu (8 m) verilmiş. Bizden istenen ise karşı kenarın diğer parçasının uzunluğudur.
Bu problem, "Açıortay Teoremi" ile doğrudan ilgilidir. Açıortay Teoremi der ki: Bir üçgende bir açının açıortayı, karşı kenarı, diğer iki kenarın uzunlukları oranında böler.
Üçgenimizin köşelerini A, B, C olarak adlandıralım. A köşesinden çıkan açıortay, BC kenarını D noktasında kessin. Bu durumda Açıortay Teoremi'ne göre:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$
Burada $AB$ ve $AC$ açıortayın çıktığı köşeye komşu olan kenarlar, $BD$ ve $DC$ ise açıortayın karşı kenarı böldüğü parçalardır.
Soruda bize verilen kenar uzunlukları $AB = 20$ m ve $AC = 30$ m'dir. Karşı kenarın parçalarından biri $BD = 8$ m olarak verilmiş. Bizden istenen diğer parça $DC$'dir.
Şimdi bu değerleri Açıortay Teoremi formülünde yerine yazalım:
$\frac{20}{30} = \frac{8}{DC}$
Denklemimizi basitleştirelim ve $DC$ değerini bulalım:
Önce $\frac{20}{30}$ kesrini sadeleştirelim. Her iki tarafı 10'a bölersek $\frac{2}{3}$ elde ederiz.
$\frac{2}{3} = \frac{8}{DC}$
Şimdi içler dışlar çarpımı yapalım:
$2 \times DC = 3 \times 8$
$2 \times DC = 24$
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
$DC = \frac{24}{2}$
$DC = 12$ m
Buna göre, açıortayın karşı kenarı böldüğü diğer parça 12 metredir.
Cevap B seçeneğidir.
