Bir yamuğun alanı \( \frac{(a+b) \cdot h}{2} \) formülüyle hesaplanır. Alanı 72 cm² olan bir yamuğun yüksekliği 8 cm'dir. Alt ve üst taban uzunlukları farkı 6 cm olduğuna göre, alt taban uzunluğu kaç cm'dir?
A) 9Bu soruda, bir yamuğun alan formülünü kullanarak verilen bilgileri değerlendirecek ve bilinmeyen alt taban uzunluğunu bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
Yamuğun alanı için verilen formül $A = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$ şeklindedir.
Burada verilen bilgiler şunlardır:
Alan ($A$) = 72 cm²
Yükseklik ($h$) = 8 cm
Alt taban uzunluğu $a$ ve üst taban uzunluğu $b$ olarak isimlendirilir.
Verilen değerleri formülde yerine yazalım:
$72 = \frac{(a+b) \cdot 8}{2}$
Şimdi bu denklemi $(a+b)$ ifadesini bulmak için çözelim:
$72 = (a+b) \cdot 4$
Denklemin her iki tarafını 4'e bölelim:
$\frac{72}{4} = a+b$
$18 = a+b$
Demek ki, yamuğun alt ve üst taban uzunluklarının toplamı 18 cm'dir.
Soruda bize alt ve üst taban uzunlukları farkının 6 cm olduğu bilgisi verilmiş. Alt tabanı $a$ ve üst tabanı $b$ olarak kabul edersek, bu durumu matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz:
$a - b = 6$
Şimdi elimizde iki tane denklem var:
Denklem 1: $a + b = 18$
Denklem 2: $a - b = 6$
Bu iki denklemi taraf tarafa toplayarak $b$ değişkenini yok edebilir ve $a$ değerini bulabiliriz:
$(a + b) + (a - b) = 18 + 6$
$a + b + a - b = 24$
$2a = 24$
Şimdi $a$ değerini bulmak için denklemin her iki tarafını 2'ye bölelim:
$a = \frac{24}{2}$
$a = 12$
Böylece alt taban uzunluğunun 12 cm olduğunu bulmuş olduk.
Bulduğumuz değerleri kullanarak sorudaki tüm koşulların sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim:
Alt taban ($a$) = 12 cm
Üst taban ($b$) = $a - 6 = 12 - 6 = 6$ cm
Tabanlar toplamı ($a+b$) = $12 + 6 = 18$ cm. Bu, 1. adımdaki sonucumuzla uyumludur.
Alan = $\frac{(a+b) \cdot h}{2} = \frac{(12+6) \cdot 8}{2} = \frac{18 \cdot 8}{2} = \frac{144}{2} = 72$ cm². Bu da soruda verilen alan değeriyle uyumludur.
Tüm değerler uyumlu olduğuna göre, çözümümüz doğrudur.
Cevap D seçeneğidir.
