P(x) polinomunun (x-2) ile bölümünden kalan 5, (x+1) ile bölümünden kalan -4'tür. Buna göre P(x) polinomunun (x²-x-2) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x+1Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde polinom bölme ve kalan teoremi bilgilerimizi kullanarak adım adım bir çözüm yapacağız. Hazırsanız başlayalım!
Adım 1: Kalan Teoremini Kullanarak Verilen Bilgileri Matematiksel İfadeye Dönüştürme
Kalan Teoremi'ne göre, bir $P(x)$ polinomunun $(x-a)$ ile bölümünden kalan $P(a)$'dır. Bu bilgiyi kullanarak soruda verilenleri yazalım:
Adım 2: Bölme İşlemini Genel Polinom Denklemi Şeklinde Yazma
Bir $P(x)$ polinomunun bir $B(x)$ polinomuna bölümünden bölüm $Q(x)$ ve kalan $K(x)$ ise, bu ilişkiyi $P(x) = B(x) \cdot Q(x) + K(x)$ şeklinde ifade ederiz.
Bizden $P(x)$ polinomunun $(x^2-x-2)$ ile bölümünden kalan isteniyor. Burada bölen polinom $B(x) = x^2-x-2$'dir.
Kalanın derecesi, bölenin derecesinden küçük olmalıdır. Bölen polinom $x^2-x-2$ ikinci dereceden olduğu için, kalan polinom en fazla birinci dereceden olabilir. Bu yüzden kalanı genel olarak $K(x) = ax+b$ şeklinde ifade edebiliriz.
Şimdi bu bilgileri genel denklemde yerine yazalım:
$P(x) = (x^2-x-2) \cdot Q(x) + (ax+b)$
Adım 3: Bölen Polinomu Çarpanlarına Ayırma
Bölen polinom olan $x^2-x-2$ ifadesini çarpanlarına ayıralım. Çarpımları $-2$ ve toplamları $-1$ olan iki sayı $-2$ ve $1$'dir. Bu durumda:
$x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$
Bu çarpanlara ayırma işlemi çok önemli, çünkü elde ettiğimiz çarpanlar, Adım 1'de kullandığımız $(x-2)$ ve $(x+1)$ ifadeleriyle aynıdır!
Şimdi denklemi güncelleyelim:
$P(x) = (x-2)(x+1) \cdot Q(x) + (ax+b)$
Adım 4: Bilinen Değerleri Kullanarak Denklemler Oluşturma
Adım 1'de bulduğumuz $P(2)=5$ ve $P(-1)=-4$ değerlerini, Adım 3'te elde ettiğimiz denklemde yerine koyarak $a$ ve $b$ bilinmeyenlerini bulmak için bir denklem sistemi oluşturalım:
$x=2$ için:
$P(2) = (2-2)(2+1) \cdot Q(2) + (a(2)+b)$
$P(2) = (0)(3) \cdot Q(2) + (2a+b)$
$P(2) = 0 + 2a+b$
Biz $P(2)=5$ olduğunu biliyoruz, o halde:
$2a+b = 5$ (Denklem 1)
$x=-1$ için:
$P(-1) = (-1-2)(-1+1) \cdot Q(-1) + (a(-1)+b)$
$P(-1) = (-3)(0) \cdot Q(-1) + (-a+b)$
$P(-1) = 0 - a+b$
Biz $P(-1)=-4$ olduğunu biliyoruz, o halde:
$-a+b = -4$ (Denklem 2)
Adım 5: Denklem Sistemini Çözerek $a$ ve $b$ Değerlerini Bulma
Elde ettiğimiz iki denklemi alt alta yazıp çözelim:
$2a+b = 5$
$-a+b = -4$
Birinci denklemden ikinci denklemi çıkarırsak $b$ terimleri birbirini götürür:
$(2a+b) - (-a+b) = 5 - (-4)$
$2a+b+a-b = 5+4$
$3a = 9$
$a = 3$
$a=3$ değerini ikinci denklemde yerine koyalım:
$-3+b = -4$
$b = -4+3$
$b = -1$
Adım 6: Kalan Polinomu Belirleme
Kalan polinomu $ax+b$ olarak ifade etmiştik. Bulduğumuz $a=3$ ve $b=-1$ değerlerini yerine yazarsak:
Kalan $= 3x-1$
Bu durumda, $P(x)$ polinomunun $(x^2-x-2)$ ile bölümünden kalan $3x-1$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
