Soru:
P(x) = \(x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 5x - 7\) polinomunun \(x^2 + x - 1\) ile bölümünden elde edilecek bölüm ve kalanı bulunuz.
Çözüm:
💡 Bölen ikinci dereceden olduğu için kalan en fazla 1. dereceden (\(ax+b\) formunda) olacaktır. Uzun bölme yapacağız.
- ➡️ İlk terimi bölelim: \(x^4 / x^2 = x^2\). Bölüme yazılır.
- ➡️ \(x^2\) ile böleni (\(x^2+x-1\)) çarpalım: \(x^4 + x^3 - x^2\). Bölünenden çıkaralım: \((x^4+2x^3-3x^2) - (x^4+x^3-x^2) = x^3 - 2x^2\).
- ➡️ Bir sonraki terim olan \(+5x\)'i indirelim: \(x^3 - 2x^2 + 5x\).
- ➡️ Yeni ifadeyi bölelim: \(x^3 / x^2 = x\). Bölüme yazılır.
- ➡️ \(x\) ile böleni çarpalım: \(x^3 + x^2 - x\). Çıkarma işlemi: \((x^3 - 2x^2 + 5x) - (x^3 + x^2 - x) = -3x^2 + 6x\).
- ➡️ Son terim olan \(-7\)'yi indirelim: \(-3x^2 + 6x - 7\).
- ➡️ Yeni ifadeyi bölelim: \(-3x^2 / x^2 = -3\). Bölüme yazılır.
- ➡️ \(-3\) ile böleni çarpalım: \(-3x^2 - 3x + 3\). Çıkarma işlemi: \((-3x^2+6x-7) - (-3x^2-3x+3) = 9x - 10\).
✅ Bölüm: \(B(x) = x^2 + x - 3\), Kalan: \(K(x) = 9x - 10\). Yani, \(P(x) = (x^2+x-1)(x^2+x-3) + (9x-10)\).
