Soru:
\( P(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 5 \) polinomunun \( x^2 + x - 1 \) ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalanı bulunuz.
Çözüm:
💡 Bölen ikinci dereceden olduğu için, kalan en fazla birinci dereceden (\( ax + b \) şeklinde) olacaktır. Uzun bölme yapacağız.
- ➡️ İlk adım: \( x^4 \)'ü \( x^2 \)'ye böleriz, sonuç \( x^2 \).
- ➡️ \( x^2 \)'yi bölen \( (x^2 + x - 1) \) ile çarparız: \( x^4 + x^3 - x^2 \). Bunu \( P(x) \)'ten çıkarırız.
- ➡️ Yeni polinom: \( x^3 - 2x^2 + 0x + 5 \). \( x^3 \)'ü \( x^2 \)'ye böleriz, sonuç \( x \).
- ➡️ \( x \)'i bölen ile çarparız: \( x^3 + x^2 - x \). Bunu yeni polinomdan çıkarırız.
- ➡️ Yeni polinom: \( -3x^2 + x + 5 \). \( -3x^2 \)'yi \( x^2 \)'ye böleriz, sonuç \( -3 \).
- ➡️ \( -3 \)'ü bölen ile çarparız: \( -3x^2 - 3x + 3 \). Bunu yeni polinomdan çıkarırız.
- ➡️ Kalan: \( (x + 5) - (-3x + 3) \) işlemi yapılır. Dikkat! \( x - (-3x) = 4x \), \( 5 - 3 = 2 \).
✅ Bölüm: \( B(x) = x^2 + x - 3 \), Kalan: \( R(x) = 4x + 2 \).
