Soru:
\( P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 8 \) polinomu \( (x^2 + 2x - 3) \) ile tam bölünebiliyorsa, \( a \cdot b \) çarpımını bulunuz.
Çözüm:
💡 Tam bölünme demek, kalanın 0 olması demektir. \( x^2 + 2x - 3 \) polinomunun kökleri aynı zamanda \( P(x) \)'in de kökleri olmalıdır.
- ➡️ 1. Adım: Bölen polinomunu çarpanlarına ayıralım: \( x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) \).
- ➡️ 2. Adım: Bölme işleminin kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomu \( (x+3) \) ve \( (x-1) \) ile tam bölünebildiğine göre:
\( P(-3) = 0 \) ve \( P(1) = 0 \) olmalıdır.
- ➡️ 3. Adım: \( P(-3) = 0 \) koşulunu yazalım:
\( P(-3) = (-3)^3 + a(-3)^2 + b(-3) + 8 = -27 + 9a - 3b + 8 = 0 \)
\( 9a - 3b - 19 = 0 \) → Denklem (1)
- ➡️ 4. Adım: \( P(1) = 0 \) koşulunu yazalım:
\( P(1) = (1)^3 + a(1)^2 + b(1) + 8 = 1 + a + b + 8 = 0 \)
\( a + b + 9 = 0 \) → Denklem (2)
- ➡️ 5. Adım: Denklem (1) ve Denklem (2)'den oluşan denklem sistemini çözelim.
Denklem (2)'den: \( b = -a - 9 \)
Bunu Denklem (1)'de yerine koyalım: \( 9a - 3(-a - 9) - 19 = 0 \)
\( 9a + 3a + 27 - 19 = 0 \)
\( 12a + 8 = 0 \)
\( 12a = -8 \)
\( a = -\frac{2}{3} \)
- ➡️ 6. Adım: \( a \) değerini Denklem (2)'de yerine koyarak \( b \)'yi bulalım:
\( -\frac{2}{3} + b + 9 = 0 \)
\( b = -\frac{25}{3} \)
- ➡️ 7. Adım: \( a \cdot b \) çarpımını hesaplayalım:
\( a \cdot b = (-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{25}{3}) = \frac{50}{9} \).
✅ Sonuç: \( a \cdot b = \frac{50}{9} \).
