Soru:
\( P(x) \) polinomunun \( (x-1) \) ile bölümünden kalan 4, \( (x+2) \) ile bölümünden kalan -5'tir. Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 + x - 2 \) ile bölümünden kalanı bulunuz.
Çözüm:
💡 Çarpanlara ayırma ve kalan teoremini birlikte kullanacağız. İstenen kalan, bölenin derecesinden (2) küçük olacağı için birinci dereceden (\( ax + b \) şeklinde) olmalıdır.
- ➡️ \( x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2) \) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Kalanımıza \( K(x) = ax + b \) diyelim.
- ➡️ Kalan teoremine göre:
- \( P(1) = 4 \) ise, \( K(1) = a(1) + b = a + b = 4 \)
- \( P(-2) = -5 \) ise, \( K(-2) = a(-2) + b = -2a + b = -5 \)
- ➡️ Bu iki denklemi çözelim:
\( a + b = 4 \)
\( -2a + b = -5 \)
İkinci denklemi birinciden çıkaralım: \( (a+b) - (-2a+b) = 4 - (-5) \) → \( 3a = 9 \) → \( a = 3 \)
- ➡️ \( a = 3 \)'ü ilk denklemde yerine koyarsak: \( 3 + b = 4 \) → \( b = 1 \).
✅ Sonuç: Kalan polinomu \( K(x) = 3x + 1 \)'dir.
