Soru:
\( P(x) = 2x^4 + 3x^3 - 5x^2 + 7x + 1 \) polinomunun \( Q(x) = x^2 + x - 1 \) polinomuna bölümünü ve kalanını bulunuz.
Çözüm:
💡 İki polinom arasında bölme işlemi yapacağız. Bölümün derecesi \( 4 - 2 = 2 \) olacak.
- ➡️ 1. Adım: \( 2x^4 \)'ü \( x^2 \)'ye böleriz, sonuç \( 2x^2 \). \( 2x^2 \) ile \( Q(x) \)'i çarparız: \( 2x^2 \cdot (x^2 + x - 1) = 2x^4 + 2x^3 - 2x^2 \). Bu çarpımı \( P(x) \)'ten çıkarırız: \( (2x^4 + 3x^3 - 5x^2 + 7x + 1) - (2x^4 + 2x^3 - 2x^2) = x^3 - 3x^2 + 7x + 1 \).
- ➡️ 2. Adım: Yeni polinomun ilk terimi \( x^3 \)'ü \( x^2 \)'ye böleriz, sonuç \( x \). \( x \) ile \( Q(x) \)'i çarparız: \( x \cdot (x^2 + x - 1) = x^3 + x^2 - x \). Bu çarpımı bir önceki sonuçtan çıkarırız: \( (x^3 - 3x^2 + 7x + 1) - (x^3 + x^2 - x) = -4x^2 + 8x + 1 \).
- ➡️ 3. Adım: Yeni polinomun ilk terimi \( -4x^2 \)'yi \( x^2 \)'ye böleriz, sonuç \( -4 \). \( -4 \) ile \( Q(x) \)'i çarparız: \( -4 \cdot (x^2 + x - 1) = -4x^2 - 4x + 4 \). Bu çarpımı bir önceki sonuçtan çıkarırız: \( (-4x^2 + 8x + 1) - (-4x^2 - 4x + 4) = 12x - 3 \).
✅ Kalanın derecesi (1), bölenin derecesinden (2) küçük olduğu için işlem tamamlandı. Bölüm: \( B(x) = 2x^2 + x - 4 \), Kalan: \( K(x) = 12x - 3 \). Yani, \( P(x) = (x^2 + x - 1)(2x^2 + x - 4) + (12x - 3) \).
