Soru:
Bir \( P(x) \) polinomu \( (x^2 - 4) \) ile bölündüğünde bölüm \( (x^2 + 3x - 1) \) ve kalan \( (2x + 5) \) olmaktadır. Buna göre \( P(x) \) polinomunu bulunuz.
Çözüm:
💡 Polinom bölmesinde temel bağıntıyı kullanacağız: Bölünen = Bölen × Bölüm + Kalan.
- ➡️ 1. Adım: Bilinenleri formülde yerine koyalım. \( P(x) = (x^2 - 4) \cdot (x^2 + 3x - 1) + (2x + 5) \).
- ➡️ 2. Adım: İlk olarak \( (x^2 - 4) \) ile \( (x^2 + 3x - 1) \) polinomlarını çarpalım.
\( x^2 \cdot (x^2 + 3x - 1) = x^4 + 3x^3 - x^2 \)
\( -4 \cdot (x^2 + 3x - 1) = -4x^2 - 12x + 4 \)
Bu iki ifadeyi toplarsak: \( x^4 + 3x^3 - x^2 - 4x^2 - 12x + 4 = x^4 + 3x^3 - 5x^2 - 12x + 4 \).
- ➡️ 3. Adım: Şimdi bu çarpım sonucuna kalanı ekleyelim: \( P(x) = (x^4 + 3x^3 - 5x^2 - 12x + 4) + (2x + 5) \).
- ➡️ 4. Adım: Benzer terimleri toplayalım: \( x^4 + 3x^3 - 5x^2 + (-12x + 2x) + (4 + 5) = x^4 + 3x^3 - 5x^2 - 10x + 9 \).
✅ Sonuç: \( P(x) = x^4 + 3x^3 - 5x^2 - 10x + 9 \).
