Sinüs teoremi formülü Test 1

Bir ABC üçgeninde a = 8 cm, b = 6 cm ve A açısı 60° olduğuna göre, B açısının ölçüsü kaç derecedir? (sin60° = √3/2, sin45° = √2/2)

A) 30°
B) 45°
C) 60°
D) 75°

Bu soruda bir üçgenin iki kenar uzunluğu ve bir açısı verilmiş. Bizden diğer bir açının ölçüsünü bulmamız isteniyor. Bu tür durumlarda Sinüs Teoremi (Sinüs Kuralı) imdadımıza yetişir.

• 1. Adım: Sinüs Teoremi'ni Hatırlayalım

Bir ABC üçgeninde kenarlar $a, b, c$ ve bu kenarların karşısındaki açılar $A, B, C$ olmak üzere Sinüs Teoremi şöyledir:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

• 2. Adım: Verilen Bilgileri Yerine Yazalım

Soruda bize verilenler:

Kenar $a = 8$ cm

Kenar $b = 6$ cm

A açısı $A = 60^\circ$

Bizden $B$ açısının ölçüsü isteniyor. Sinüs Teoremi'nin ilgili kısmını kullanalım:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

Şimdi bilinen değerleri bu denkleme yerleştirelim:

$\frac{8}{\sin 60^\circ} = \frac{6}{\sin B}$

• 3. Adım: Denklemi Çözelim

Soruda $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ olarak verilmiş. Bu değeri denklemde kullanalım:

$\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sin B}$

Sol tarafı düzenleyelim:

$\frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sin B}$

Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak $\sin B$ değerini bulalım:

$16 \cdot \sin B = 6 \cdot \sqrt{3}$

$\sin B = \frac{6\sqrt{3}}{16}$

Kesri sadeleştirelim:

$\sin B = \frac{3\sqrt{3}}{8}$

• 4. Adım: B Açısının Ölçüsünü Bulalım

Şimdi $\sin B = \frac{3\sqrt{3}}{8}$ değerini bulduk. Bu değerin hangi açıya karşılık geldiğini bulmamız gerekiyor.

Soruda verilen ipuçlarına bakalım: $\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2$ ve $\sin 45^\circ = \sqrt{2}/2$.

Bulduğumuz $\sin B = \frac{3\sqrt{3}}{8}$ değerini yaklaşık olarak hesaplarsak: $\frac{3 \times 1.732}{8} \approx \frac{5.196}{8} \approx 0.6495$ olur.

Seçeneklerdeki açılar için sinüs değerlerini hatırlayalım:

$\sin 30^\circ = 0.5$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1.414}{2} \approx 0.707$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} \approx 0.866$

Hesapladığımız $\sin B \approx 0.6495$ değeri, seçenekler arasında $\sin 45^\circ \approx 0.707$ değerine en yakın olanıdır. Bu tür sorularda, verilen sayıların tam olarak bir standart açıya denk gelmemesi durumunda, en yakın seçeneği işaretlememiz beklenir.

Bu durumda, $B$ açısının ölçüsü $45^\circ$ olarak bulunur.

Cevap B seçeneğidir.