Soru:
Bir ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı \( R = 6 \text{ cm} \) ve \( \angle A = 75^\circ \) olarak veriliyor. Buna göre, \( a \) kenarının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
💡 Sinüs teoreminin genişletilmiş hali, bir kenarın çevrel çemberin yarıçapı ile ilişkisini verir: \( \frac{a}{\sin A} = 2R \).
- ➡️ Formülü doğrudan kullanabiliriz: \( a = 2R \cdot \sin A \).
- ➡️ Verilen değerleri yerine koyalım: \( a = 2 \times 6 \times \sin 75^\circ \).
- ➡️ \( \sin 75^\circ \) değerini bulmamız gerekiyor. \( \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \) formülünü kullanırız.
- ➡️ Değerleri yerleştirelim: \( \sin 75^\circ = (\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \).
- ➡️ Şimdi \( a \)'yı hesaplayalım: \( a = 12 \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 3 \times (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \).
✅ Sonuç: \( a = 3(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \text{ cm} \).
