Soru:
Bir ABC üçgeninde \( a = 4 \text{ cm} \), \( b = 6 \text{ cm} \) ve \( m(\widehat{A}) = 20^\circ \) olarak veriliyor. Buna göre \( m(\widehat{B}) \)'nin alabileceği olası iki farklı değeri bulunuz.
Çözüm:
💡 Burada belirsiz durum (Ambiguous Case) söz konusudur. Verilen açı dar açı ve bu açının karşısındaki kenar, diğer kenardan küçük olduğu için iki farklı üçgen çizilebilir.
- ➡️ Sinüs teoremini uygulayalım: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \).
- ➡️ Verilenleri yerine koyalım: \( \frac{4}{\sin 20^\circ} = \frac{6}{\sin B} \).
- ➡️ İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 4 \cdot \sin B = 6 \cdot \sin 20^\circ \).
- ➡️ \( \sin B \)'yi yalnız bırakalım: \( \sin B = \frac{6 \cdot \sin 20^\circ}{4} = \frac{3 \cdot \sin 20^\circ}{2} \).
- ➡️ \( \sin 20^\circ \approx 0,3420 \) değerini kullanalım: \( \sin B \approx \frac{3 \cdot 0,3420}{2} = \frac{1,026}{2} = 0,513 \).
- ➡️ \( \sin B \approx 0,513 \) olduğuna göre, \( m(\widehat{B}) \approx \arcsin(0,513) \).
- ➡️ Birinci olası değer: \( m(\widehat{B_1}) \approx 30,9^\circ \).
- ➡️ İkinci olası değer: Sinüs fonksiyonu \( 0^\circ \) ile \( 180^\circ \) aralığında \( \sin(\theta) = \sin(180^\circ - \theta) \) özelliğine sahiptir. Bu nedenle \( m(\widehat{B_2}) \approx 180^\circ - 30,9^\circ = 149,1^\circ \).
- ➡️ Kontrol: Her iki durumda da iç açılar toplamı \(180^\circ\)'yi geçmiyor mu?
- Durum 1: \( 20^\circ + 30,9^\circ = 50,9^\circ \) → \( m(\widehat{C}) \approx 129,1^\circ \) (Geçerli)
- Durum 2: \( 20^\circ + 149,1^\circ = 169,1^\circ \) → \( m(\widehat{C}) \approx 10,9^\circ \) (Geçerli)
✅ Sonuç: \( m(\widehat{B}) \)'nin olası iki değeri yaklaşık olarak \( \mathbf{30,9^\circ} \) ve \( \mathbf{149,1^\circ} \)'dir.
