Soru:
Bir ABC üçgeninde, \( \angle A = 30^\circ \), \( \angle B = 45^\circ \) ve \( a = 8 \text{ cm} \) olarak veriliyor. Buna göre, \( b \) kenarının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
💡 Sinüs teoremini kullanarak verilmeyen kenarı bulabiliriz. Sinüs teoremi formülü: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)
- ➡️ İlk olarak, \( \angle C \)'yi bulalım. Bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan: \( \angle C = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 105^\circ \).
- ➡️ Sinüs teoremini \( a \) ve \( b \) kenarları için yazalım: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \).
- ➡️ Verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{8}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ} \).
- ➡️ Sinüs değerlerini yazalım: \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) ve \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Denklem: \( \frac{8}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \) bu da \( 16 = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \) anlamına gelir.
- ➡️ \( b \)'yi yalnız bırakalım: \( b = 16 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \).
✅ Sonuç: \( b = 8\sqrt{2} \text{ cm} \).
