Soru:
Bir ABC üçgeninde, \( a = 7 \text{ cm} \), \( b = 5 \text{ cm} \) ve \( \sin A = \frac{7}{10} \) olarak veriliyor. Buna göre, \( \sin B \) değerini ve \( \angle B \)'nin alabileceği iki farklı değeri (dar ve geniş açı durumlarını düşünerek) bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu soru, belirsiz duruma (Ambiguous Case) bir örnektir. Verilen bilgilerle iki farklı üçgen çizilebilir.
- ➡️ Sinüs teoremini uygulayarak \( \sin B \)'yi bulalım: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \).
- ➡️ Değerleri yerine koyalım: \( \frac{7}{\frac{7}{10}} = \frac{5}{\sin B} \).
- ➡️ Sol tarafı sadeleştirelim: \( \frac{7}{\frac{7}{10}} = 7 \times \frac{10}{7} = 10 \). Denklemimiz \( 10 = \frac{5}{\sin B} \) haline gelir.
- ➡️ \( \sin B \)'yi yalnız bırakalım: \( \sin B = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).
- ➡️ \( \sin B = \frac{1}{2} \) ise, \( B \) açısı kaç derece olabilir?
- Durum 1 (Dar Açı): \( B_1 = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30^\circ \).
- Durum 2 (Geniş Açı): \( B_2 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \).
- ➡️ Her iki durumun da geçerli olup olmadığını kontrol etmeliyiz. Eğer \( B_2 = 150^\circ \) alınırsa, üçgenin iç açıları toplamı \( A + B + C = 180^\circ \) olmalıdır. \( A \) açısı \( \arcsin(\frac{7}{10}) \approx 44.43^\circ \) civarındadır. \( 44.43^\circ + 150^\circ = 194.43^\circ > 180^\circ \) olduğu için bu durum mümkün değildir. Bu nedenle sadece dar açılı çözüm geçerlidir.
✅ Sonuç: \( \sin B = \frac{1}{2} \) ve \( \angle B = 30^\circ \). (Geniş açılı durum üçgen oluşturmadığı için elenmiştir.)
