Soru:
Bir XYZ üçgeninde, \( x = 10 \text{ cm} \), \( y = 6\sqrt{3} \text{ cm} \) ve \( \angle Y = 60^\circ \) olarak veriliyor. Buna göre, \( \angle X \)'in ölçüsünü bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu soruda bir kenar ve karşısındaki açı verilmiş, bir diğer kenar verilmiş ve onun karşısındaki açı soruluyor. Sinüs teoremi ile çözüme ulaşabiliriz.
- ➡️ Sinüs teoremini ilgili kenarlar ve açılar için yazalım: \( \frac{x}{\sin X} = \frac{y}{\sin Y} \).
- ➡️ Verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{10}{\sin X} = \frac{6\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} \).
- ➡️ \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğunu biliyoruz. Denklem: \( \frac{10}{\sin X} = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \).
- ➡️ Sağ tarafı sadeleştirelim: \( \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 12 \). Denklemimiz \( \frac{10}{\sin X} = 12 \) haline gelir.
- ➡️ İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 10 = 12 \cdot \sin X \).
- ➡️ \( \sin X \)'i yalnız bırakalım: \( \sin X = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \).
- ➡️ \( \sin X = \frac{5}{6} \) olduğuna göre, \( X \) açısı \( \arcsin(\frac{5}{6}) \) değerine eşittir. Hesaplayıcı kullanırsak \( X \approx 56.44^\circ \) bulunur.
✅ Sonuç: \( \angle X \approx 56.44^\circ \).
