Polinomlarda bölme işlemi Test 2

P(x) = x³ - 2x² + ax + b polinomu (x-1)² ile tam bölünebildiğine göre, a+b toplamı kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, bir polinomun $(x-1)^2$ ile tam bölünebilmesi koşulunu kullanarak $a$ ve $b$ değerlerini bulacağız. Bir polinomun $(x-c)^2$ ile tam bölünebilmesi için iki temel şart vardır:

• Polinomun kendisi $x=c$ noktasında sıfır olmalıdır, yani $P(c)=0$.
• Polinomun türevi de $x=c$ noktasında sıfır olmalıdır, yani $P'(c)=0$.

Bizim sorumuzda $c=1$ olduğu için $P(1)=0$ ve $P'(1)=0$ koşullarını kullanacağız.

• Adım 1: $P(1)=0$ koşulunu uygulayalım.

  $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b$ polinomunda $x=1$ yazarsak:

  $P(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + a(1) + b$

  $P(1) = 1 - 2 + a + b$

  $P(1) = a + b - 1$

  Tam bölünebilme şartından dolayı $P(1)=0$ olmalıdır. Yani:

  $a + b - 1 = 0$

  Bu durumda, ilk denklemimiz:

  $a + b = 1$ (Denklem 1)

• Adım 2: Polinomun türevini alalım ve $P'(1)=0$ koşulunu uygulayalım.

  Öncelikle P(x) polinomunun türevini alalım:

  $P'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + ax + b)$

  $P'(x) = 3x^2 - 4x + a$

  Şimdi $P'(x)$ polinomunda $x=1$ yazarsak:

  $P'(1) = 3(1)^2 - 4(1) + a$

  $P'(1) = 3 - 4 + a$

  $P'(1) = a - 1$

  Tam bölünebilme şartından dolayı $P'(1)=0$ olmalıdır. Yani:

  $a - 1 = 0$

  Bu durumda, $a$ değerini buluruz:

  $a = 1$

• Adım 3: Bulduğumuz $a$ değerini Denklem 1'de yerine yazarak $b$ değerini bulalım.

  Denklem 1: $a + b = 1$

  Bulduğumuz $a=1$ değerini yerine yazarsak:

  $1 + b = 1$

  $b = 0$

• Adım 4: $a+b$ toplamını hesaplayalım.

  $a=1$ ve $b=0$ olduğuna göre, $a+b$ toplamı:

  $a + b = 1 + 0 = 1$

Bu adımları takip ederek $a+b$ toplamını $1$ olarak buluruz.

Cevap B seçeneğidir.