Denk önermeler nedir Test 1

1. p: "3 asal sayıdır" ve q: "4 çift sayıdır" önermeleri veriliyor. Buna göre aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi p ve q önermeleri ile aynı doğruluk değerine sahiptir?

A) p ∧ q
B) p ∨ q
C) p ⇒ q
D) p ⇔ q

Bu soruyu çözmek için öncelikle verilen önermelerin doğruluk değerlerini bulmalı, ardından seçeneklerdeki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bu bilgilere göre hesaplamalıyız. Son olarak, hangi bileşik önermenin doğruluk değerinin, p ve q önermelerinin aynı doğruluk değerine sahip olma durumunu en doğru şekilde yansıttığını belirleyeceğiz.

• Adım 1: "$p$" önermesinin doğruluk değerini belirleyelim.

  $p$: "3 asal sayıdır"

  Asal sayılar, 1'den büyük olup 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan sayılardır. 3 sayısı, sadece 1 ve 3'e bölünebildiği için bir asal sayıdır.

  Bu nedenle, "$p$" önermesi doğrudur. Matematiksel olarak $D(p) = 1$ şeklinde gösterilir.

• Adım 2: "$q$" önermesinin doğruluk değerini belirleyelim.

  $q$: "4 çift sayıdır"

  Çift sayılar, 2 ile kalansız bölünebilen tam sayılardır. 4 sayısı, 2 ile kalansız bölünebildiği ($4 \div 2 = 2$) için bir çift sayıdır.

  Bu nedenle, "$q$" önermesi de doğrudur. Matematiksel olarak $D(q) = 1$ şeklinde gösterilir.

• Adım 3: Sorunun ne istediğini anlayalım.

  Soru, "aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi p ve q önermeleri ile aynı doğruluk değerine sahiptir?" diye soruyor. Bu ifade, $p$ ve $q$ önermelerinin doğruluk değerleri aynı olduğunda doğru olan, farklı olduğunda ise yanlış olan bileşik önermeyi bulmamızı istiyor. Bu tanım, mantıkta ancak ve ancak (çift gerektirme) bağlacının tanımıdır.

  Yani, $D(p) = D(q)$ ise bileşik önermenin doğruluk değeri 1 (doğru), $D(p) \neq D(q)$ ise bileşik önermenin doğruluk değeri 0 (yanlış) olmalıdır.

• Adım 4: Seçeneklerdeki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini $D(p)=1$ ve $D(q)=1$ için hesaplayalım.

  Yukarıdaki adımlarda $D(p)=1$ ve $D(q)=1$ olarak bulduk. Bu durumda $D(p) = D(q)$ olduğu için, aradığımız bileşik önermenin doğruluk değeri 1 olmalıdır.

• A) $p \land q$ (p ve q): "Ve" bağlacı, her iki önerme de doğru olduğunda doğrudur.

  $D(p \land q) = D(p) \land D(q) = 1 \land 1 = 1$.

• B) $p \lor q$ (p veya q): "Veya" bağlacı, en az bir önerme doğru olduğunda doğrudur.

  $D(p \lor q) = D(p) \lor D(q) = 1 \lor 1 = 1$.

• C) $p \Rightarrow q$ (p ise q): "İse" bağlacı, sadece ilk önerme doğru, ikinci önerme yanlış olduğunda yanlıştır. Diğer tüm durumlarda doğrudur.

  $D(p \Rightarrow q) = D(p) \Rightarrow D(q) = 1 \Rightarrow 1 = 1$.

• D) $p \Leftrightarrow q$ (p ancak ve ancak q): "Ancak ve ancak" bağlacı, her iki önermenin doğruluk değerleri aynı olduğunda doğrudur.

  $D(p \Leftrightarrow q) = D(p) \Leftrightarrow D(q) = 1 \Leftrightarrow 1 = 1$.

  Gördüğümüz gibi, $D(p)=1$ ve $D(q)=1$ olduğunda tüm seçeneklerin doğruluk değeri 1 çıkmaktadır. Ancak sorunun asıl amacı, $p$ ve $q$'nun doğruluk değerlerinin aynı olup olmadığını ifade eden bileşik önermeyi bulmaktır. Bu tanım doğrudan "ancak ve ancak" bağlacına aittir.

  Yani, $p \Leftrightarrow q$ önermesi, $p$ ve $q$'nun doğruluk değerleri aynı olduğunda doğru (1), farklı olduğunda yanlış (0) olur. Bu durum, $p$ ve $q$ önermelerinin "aynı doğruluk değerine sahip olma" durumunu tam olarak yansıtır. Diğer bağlaçlar, $p$ ve $q$'nun doğruluk değerleri farklı olduğunda da doğru sonuç verebilir (örneğin $p \lor q$ için $D(p)=1, D(q)=0$ iken $D(p \lor q)=1$ olur, ancak $p$ ve $q$'nun doğruluk değerleri aynı değildir). Bu nedenle, sadece "ancak ve ancak" bağlacı, $p$ ve $q$'nun doğruluk değerlerinin aynı olma durumunu tam olarak temsil eder.

Cevap D seçeneğidir.