Bir üçgenin çevresi (8x-12) cm'dir. Bu üçgen eşkenar üçgen olduğuna göre, bir kenar uzunluğunun karesini veren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
A) $\frac{64x^2 - 192x + 144}{9}$
B) $\frac{64x^2 - 144}{9}$
C) $\frac{64x^2 + 192x + 144}{9}$
D) $\frac{64x^2 - 144}{3}$
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda bir eşkenar üçgenin çevresi verilmiş ve bizden bir kenar uzunluğunun karesini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu problemi kolayca çözelim.
- Adım 1: Eşkenar Üçgenin Özelliklerini Hatırlayalım
- Bir eşkenar üçgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.
- Eğer bir kenar uzunluğuna $a$ dersek, üçgenin çevresi $a+a+a = 3a$ olur.
- Adım 2: Bir Kenar Uzunluğunu Bulalım
- Soruda üçgenin çevresi $(8x-12)$ cm olarak verilmiş.
- Eşkenar üçgenin çevresi $3a$ olduğu için, bir kenar uzunluğunu bulmak için çevreyi 3'e bölmemiz gerekir.
- Yani, bir kenar uzunluğu $a = \frac{\text{Çevre}}{3}$ olacaktır.
- $a = \frac{8x-12}{3}$ cm.
- Adım 3: Bir Kenar Uzunluğunun Karesini Hesaplayalım
- Bizden istenen, bir kenar uzunluğunun karesini veren ifadedir. Yani $a^2$ ifadesini bulmalıyız.
- $a^2 = \left(\frac{8x-12}{3}\right)^2$
- Bu ifadeyi açarken hem payın hem de paydanın karesini almayı unutmayalım: $a^2 = \frac{(8x-12)^2}{3^2}$
- Adım 4: İfadeyi Sadeleştirelim
- Önce paydadaki sayının karesini alalım: $3^2 = 9$.
- Şimdi paydaki $(8x-12)^2$ ifadesini açalım. Bu bir tam kare ifadedir ve $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$ formülü ile açılır.
- Burada $m=8x$ ve $n=12$.
- $(8x-12)^2 = (8x)^2 - 2(8x)(12) + (12)^2$
- $= 64x^2 - 192x + 144$
- Şimdi bu ifadeyi paydaya yazalım: $a^2 = \frac{64x^2 - 192x + 144}{9}$
Böylece bir kenar uzunluğunun karesini veren ifadeyi bulmuş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
