Kısa kenarı (x-2) cm, uzun kenarı (x+2) cm olan dikdörtgenin alanı, bir kenarı (x-3) cm olan karenin alanından ne kadar fazladır?
A) 5x-5Sevgili öğrenciler, bu problemde iki farklı geometrik şeklin alanlarını hesaplayıp aralarındaki farkı bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
Dikdörtgenin kısa kenarı $(x-2)$ cm ve uzun kenarı $(x+2)$ cm olarak verilmiş. Bir dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ile uzun kenarının çarpımına eşittir.
Alan $= (\text{kısa kenar}) \times (\text{uzun kenar})$
Alan $= (x-2)(x+2)$
Bu ifade, matematikte "iki kare farkı" özdeşliği olarak bilinir: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Burada $a=x$ ve $b=2$ dir.
Dikdörtgenin Alanı $= x^2 - 2^2 = x^2 - 4$ cm$^2$.
Karenin bir kenarı $(x-3)$ cm olarak verilmiş. Bir karenin alanı, bir kenarının kendisiyle çarpımına (karesine) eşittir.
Alan $= (\text{kenar}) \times (\text{kenar})$
Alan $= (x-3)^2$
Bu ifade, matematikte "tam kare" özdeşliği olarak bilinir: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Burada $a=x$ ve $b=3$ tür.
Karenin Alanı $= x^2 - 2(x)(3) + 3^2 = x^2 - 6x + 9$ cm$^2$.
Soru bizden dikdörtgenin alanının, karenin alanından ne kadar fazla olduğunu bulmamızı istiyor. Bunun için dikdörtgenin alanından karenin alanını çıkarmamız gerekir.
Fark $= (\text{Dikdörtgenin Alanı}) - (\text{Karenin Alanı})$
Fark $= (x^2 - 4) - (x^2 - 6x + 9)$
Parantezleri açarken, ikinci parantezin önündeki eksi işaretinin içerideki tüm terimlerin işaretini değiştireceğini unutmayalım:
Fark $= x^2 - 4 - x^2 + 6x - 9$
Şimdi benzer terimleri birleştirelim:
Fark $= (x^2 - x^2) + 6x + (-4 - 9)$
Fark $= 0 + 6x - 13$
Fark $= 6x - 13$ cm$^2$.
Bu durumda, dikdörtgenin alanı karenin alanından $6x-13$ cm$^2$ daha fazladır.
Cevap D seçeneğidir.
