Sinüs teoremi formülü Test 2

Bir üçgenin iki açısı 40° ve 60° olup bu açıların karşısındaki kenarların toplamı 14 cm'dir. Üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç cm'dir?

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7

Bir üçgenin çevrel çemberinin yarıçapını bulmak için Sinüs Teoremi'ni kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Üçgenin üçüncü açısını bulalım.

  Bir üçgenin iç açılarının toplamı $180^\circ$'dir. Bize verilen iki açı $40^\circ$ ve $60^\circ$'dir. Üçüncü açıyı ($\gamma$) bulmak için bu açıları $180^\circ$'den çıkarırız:

  $\gamma = 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ)$

  $\gamma = 180^\circ - 100^\circ$

  $\gamma = 80^\circ$

  Böylece üçgenin açıları $40^\circ$, $60^\circ$ ve $80^\circ$ olarak belirlenmiş olur.

• Adım 2: Sinüs Teoremi'ni uygulayalım.

  Sinüs Teoremi'ne göre, bir üçgende her kenarın uzunluğunun, o kenarın karşısındaki açının sinüsüne oranı sabittir ve bu oran çevrel çemberin çapına ($2R$) eşittir. Yani:

  $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

  Burada $a$, $A$ açısının karşısındaki kenar; $b$, $B$ açısının karşısındaki kenar; $c$, $C$ açısının karşısındaki kenardır. $R$ ise çevrel çemberin yarıçapıdır.

  Bize verilen açılar $A=40^\circ$ ve $B=60^\circ$ olup, bu açıların karşısındaki kenarların toplamı $a+b=14$ cm'dir.

  Sinüs Teoremi'ni kullanarak $a$ ve $b$ kenarlarını $R$ cinsinden ifade edelim:

  $a = 2R \sin A \implies a = 2R \sin 40^\circ$

  $b = 2R \sin B \implies b = 2R \sin 60^\circ$

• Adım 3: Verilen kenar toplamını kullanalım.

  Bize $a+b=14$ cm olduğu verilmişti. Şimdi $a$ ve $b$ için bulduğumuz ifadeleri bu denklemde yerine koyalım:

  $2R \sin 40^\circ + 2R \sin 60^\circ = 14$

  Bu ifadeyi $2R$ parantezine alalım:

  $2R (\sin 40^\circ + \sin 60^\circ) = 14$

  Her iki tarafı 2'ye bölelim:

  $R (\sin 40^\circ + \sin 60^\circ) = 7$

• Adım 4: Çevrel çemberin yarıçapını ($R$) bulalım.

  Bu denklemi $R$ için çözdüğümüzde, $R=7$ cm sonucuna ulaşırız.

  Dolayısıyla, çevrel çemberin yarıçapı $7$ cm'dir.

Cevap D seçeneğidir.